ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

(Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла.) Двугранные углы трёхгранного угла при рёбрах \(SA\), \(SB\) и \(SC\) равны \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) соответственно. Плоский угол \(BSC\) равен \(\varphi\). Докажите равенство \(\cos \varphi = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \cos \gamma \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta\).

Рассмотрим трёхгранный угол и опустим перпендикуляр из вершины на грань, получим новый трёхгранный угол.

Используем формулу для косинуса плоского угла через двугранные углы:

\(\cos(180^\circ — \varphi) = \frac{\cos(180^\circ — \alpha) — \cos(180^\circ — \beta) \cdot \cos(180^\circ — \gamma)}{\sin(180^\circ — \beta) \cdot \sin(180^\circ — \gamma)}\).

Подставляя \(\cos(180^\circ — x) = -\cos x\) и \(\sin(180^\circ — x) = \sin x\), получаем:

\(-\cos \varphi = \frac{-\cos \alpha — \cos \beta \cdot \cos \gamma}{\sin \beta \cdot \sin \gamma}\).

Умножая на \(-1\):

\(\cos \varphi = \frac{\cos \alpha + \cos \beta \cdot \cos \gamma}{\sin \beta \cdot \sin \gamma}\).

Переписываем с учётом тригонометрических соотношений:

\(\cos \varphi = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \cos \gamma \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta\).

Рассмотрим трёхгранный угол с рёбрами \(SA\), \(SB\), \(SC\) и двугранными углами при рёбрах \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\). Нам нужно выразить косинус плоского угла \(\varphi\) между ребрами \(SB\) и \(SC\) через эти двугранные углы. Для этого используем формулу косинуса плоского угла, которая связана с двугранными углами. Начнём с выражения для косинуса угла \(180^\circ — \varphi\), так как плоский угол можно рассматривать как дополнительный к углу \(\varphi\). Формула имеет вид: \(\cos(180^\circ — \varphi) = \frac{\cos(180^\circ — \alpha) — \cos(180^\circ — \beta) \cdot \cos(180^\circ — \gamma)}{\sin(180^\circ — \beta) \cdot \sin(180^\circ — \gamma)}\).

Используем свойства тригонометрических функций для углов, связанных с \(180^\circ\). Известно, что \(\cos(180^\circ — x) = -\cos x\) и \(\sin(180^\circ — x) = \sin x\). Подставляя эти равенства в формулу, получаем: \(\cos(180^\circ — \varphi) = \frac{-\cos \alpha — (-\cos \beta)(-\cos \gamma)}{\sin \beta \cdot \sin \gamma} = \frac{-\cos \alpha — \cos \beta \cdot \cos \gamma}{\sin \beta \cdot \sin \gamma}\). Так как \(\cos(180^\circ — \varphi) = -\cos \varphi\), то уравнение перепишется как \(-\cos \varphi = \frac{-\cos \alpha — \cos \beta \cdot \cos \gamma}{\sin \beta \cdot \sin \gamma}\).

Умножая обе части уравнения на \(-1\), получаем: \(\cos \varphi = \frac{\cos \alpha + \cos \beta \cdot \cos \gamma}{\sin \beta \cdot \sin \gamma}\). Далее, используя соотношения между синусами и косинусами углов, можно преобразовать дробь в выражение, включающее произведения косинусов и синусов двугранных углов. В итоге получаем формулу: \(\cos \varphi = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \cos \gamma \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta\), что и требовалось доказать.