ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если все двугранные углы трёхгранного угла меньше 90°, то и все его плоские углы тоже меньше 90°.

Если все двугранные углы трёхгранного угла меньше 90°, то их косинусы положительны: \(\cos A > 0\), \(\cos B > 0\), \(\cos C > 0\).

По формуле косинусов для плоских углов трёхгранного угла:
\(\cos \alpha = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B \cdot \cos C\).

Поскольку все слагаемые положительны, то \(\cos \alpha > 0\), следовательно, \(\alpha < 90^\circ\).

Аналогично доказывается, что остальные плоские углы тоже меньше 90°.

Если все двугранные углы трёхгранного угла меньше 90°, это означает, что каждый из них острый, то есть \(A < 90^\circ\), \(B < 90^\circ\), \(C < 90^\circ\). В таком случае косинусы этих углов положительны, так как для углов острого типа \(\cos A > 0\), \(\cos B > 0\), \(\cos C > 0\). Это важное свойство, которое позволит нам связать двугранные углы с плоскими углами трёхгранного угла.

Плоские углы трёхгранного угла обозначим как \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\). Между ними и двугранными углами существует формула косинусов, которая выражает косинус плоского угла через косинусы и синусы двугранных углов:
\(\cos \alpha = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B \cdot \cos C\).
Аналогичные формулы существуют для \(\beta\) и \(\gamma\), меняются только индексы. Поскольку все двугранные углы острые, все три косинуса положительны, а синусы положительны для углов меньше 90°. Следовательно, выражение для \(\cos \alpha\) является суммой положительных слагаемых, что гарантирует \(\cos \alpha > 0\).

Поскольку \(\cos \alpha > 0\), это означает, что плоский угол \(\alpha\) острый, то есть \(\alpha < 90^\circ\). Аналогично, для других плоских углов \(\beta\) и \(\gamma\) по тем же формулам и рассуждениям будет верно, что они также меньше 90°. Таким образом, если все двугранные углы трёхгранного угла острые, то и все плоские углы этого трёхгранного угла острые.