ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

(Теорема синусов для трёхгранного угла.) Плоские углы \(ASB\), \(BSC\), \(CSA\) трёхгранного угла \(SABC\) равны \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) соответственно. Двугранные углы при рёбрах \(SC\), \(SA\) и \(SB\) равны \(\alpha_1\), \(\beta_1\) и \(\gamma_1\) соответственно. Докажите равенство \(\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha_1} = \frac{\sin \beta}{\sin \beta_1} = \frac{\sin \gamma}{\sin \gamma_1}\).

Пусть \(P\) — точка на ребре \(SA\). Обозначим \(O\) — проекцию \(P\) на плоскость \(SBC\), \(R\) — проекцию \(O\) на ребро \(SC\), \(Q\) — проекцию \(O\) на ребро \(SB\).

Тогда \(PO = PR \sin \gamma_1 = SP \sin \beta \sin \gamma_1\) и \(PO = PQ \sin \beta = SP \sin \gamma \sin \beta_1\).

Из равенства этих выражений следует \(\sin \beta \sin \gamma_1 = \sin \gamma \sin \beta_1\), откуда \(\frac{\sin \beta}{\sin \beta_1} = \frac{\sin \gamma}{\sin \gamma_1}\).

Аналогично доказывается \(\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha_1} = \frac{\sin \beta}{\sin \beta_1}\).

Таким образом, \(\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha_1} = \frac{\sin \beta}{\sin \beta_1} = \frac{\sin \gamma}{\sin \gamma_1}\).

Рассмотрим трёхгранный угол с вершиной в точке \(S\) и рёбрами \(SA\), \(SB\), \(SC\). Пусть плоские углы при вершине равны \(\alpha = \angle ASB\), \(\beta = \angle BSC\), \(\gamma = \angle CSA\), а двугранные углы при рёбрах — \(\alpha_1\) при ребре \(SC\), \(\beta_1\) при ребре \(SA\), \(\gamma_1\) при ребре \(SB\). Для доказательства теоремы синусов рассмотрим произвольную точку \(P\) на ребре \(SA\). Проецируем точку \(P\) на плоскость \(SBC\), обозначим проекцию \(O\). Далее проведём перпендикуляры из \(O\) на ребра \(SC\) и \(SB\), обозначим эти проекции как \(R\) и \(Q\) соответственно.

Из построения следует, что длина отрезка \(PO\) равна длине \(PR\), умноженной на синус двугранного угла \(\gamma_1\), то есть \(PO = PR \sin \gamma_1\). При этом \(PR\) — это проекция длины \(SP\) на ребро \(SC\) с учётом плоского угла \(\beta\), поэтому \(PR = SP \sin \beta\). Следовательно, \(PO = SP \sin \beta \sin \gamma_1\). Аналогично, длина \(PO\) равна длине \(PQ\), умноженной на синус двугранного угла \(\beta_1\), то есть \(PO = PQ \sin \beta_1\). При этом \(PQ\) — проекция \(SP\) на ребро \(SB\) с учётом плоского угла \(\gamma\), значит, \(PQ = SP \sin \gamma\). Отсюда \(PO = SP \sin \gamma \sin \beta_1\).

Поскольку это одно и то же расстояние \(PO\), приравниваем выражения: \(SP \sin \beta \sin \gamma_1 = SP \sin \gamma \sin \beta_1\). Учитывая, что \(SP \ne 0\), сокращаем и получаем равенство \(\sin \beta \sin \gamma_1 = \sin \gamma \sin \beta_1\), или \(\frac{\sin \beta}{\sin \beta_1} = \frac{\sin \gamma}{\sin \gamma_1}\).

Аналогичным образом, рассматривая проекции и двугранные углы при других рёбрах, доказываем, что \(\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha_1} = \frac{\sin \beta}{\sin \beta_1}\). В итоге получаем равенство \(\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha_1} = \frac{\sin \beta}{\sin \beta_1} = \frac{\sin \gamma}{\sin \gamma_1}\), что и является утверждением теоремы синусов для трёхгранного угла.