Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Докажите, что каждый плоский угол выпуклого многогранного угла меньше суммы всех остальных его плоских углов.
На лучах трёхгранного угла возьмём точки \( D \) и \( B \), причём \( \angle AOB = \alpha \) — наибольший из трёх углов.
На отрезке \( OB \) возьмём точку \( P \) так, что \( \angle AOP = \beta \). На третьем луче отложим \( OC = OD \), где \( \angle AOC = \beta \), \( \angle BOC = \gamma \).
Треугольники \( \triangle AOC \) и \( \triangle AOP \) равны, значит \( OD = OP \).
По неравенству треугольника: \( AC + BC > AB \), или \( AC + BC > AD + BD \), следовательно \( BC > BD \).
Так как \( AC = AD \), а \( \angle BOC > \angle BOD \), то
\( \angle BOC + \angle AOC > \angle BOD + \angle AOD \), то есть
\( \gamma + \beta > \alpha \).
Рассмотрим выпуклый трёхгранный угол с вершиной \( O \) и тремя лучами \( OA \), \( OB \), \( OC \). Пусть плоские углы между этими лучами равны \( \alpha = \angle AOB \), \( \beta = \angle BOC \), \( \gamma = \angle COA \). Предположим, что \( \alpha \) — наибольший из этих углов.
На лучах \( OA \) и \( OB \) выберем точки \( D \) и \( B \) соответственно, так чтобы рассмотреть треугольники, образованные этими точками и вершиной \( O \). Далее на луче \( OB \) возьмём точку \( P \), такую что угол \( \angle AOP = \beta \). На луче \( OC \) отложим отрезок \( OD \), равный отрезку \( OP \), то есть \( OD = OP \).
Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle AOC \) и \( \triangle AOP \). Они равны по двум сторонам и углу между ними, так как \( AO \) общий, \( OD = OP \), и углы при вершине \( O \) равны. Из равенства треугольников следует, что \( AC = AP \), а также что соответствующие стороны равны. Это позволяет нам перейти к анализу неравенства треугольника.
По неравенству треугольника для треугольника с вершинами \( A \), \( B \), \( C \) выполняется неравенство \( AC + BC > AB \). В нашем случае, учитывая равенство \( AC = AD \), можно записать \( AC + BC > AD + BD \), откуда следует \( BC > BD \). Поскольку угол \( \angle BOC \) больше угла \( \angle BOD \), сумма углов \( \gamma + \beta \) больше угла \( \alpha \), то есть \( \gamma + \beta > \alpha \). Это доказывает, что любой плоский угол многогранного угла меньше суммы двух других плоских углов.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!