ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что сумма двугранных углов выпуклого \(n\)-гранного угла больше \(180^\circ (n — 2)\).

Рассмотрим \(n\)-гранный угол с двугранными углами \(S d_1 e d_1, e d_2 e d_3, \ldots, e d_{n-1} e d_n\).

Сумма двугранных углов этого \(n\)-гранного угла равна сумме двугранных углов трёхгранного угла \(S d_1 e d_1, e d_2 e d_n\), смежной с суммой двугранных углов \((n-1)\)-гранного угла \(S d_2 e d_3, \ldots, e d_{n-1} e d_n\).

Используя результат задачи 17.22 и метод математической индукции, получаем, что сумма двугранных углов \(n\)-гранного угла больше \(180^\circ (n-2)\).

Рассмотрим \(n\)-гранный угол, образованный двугранными углами \(S d_1 e d_1, e d_2 e d_3, \ldots, e d_{n-1} e d_n\). Для понимания структуры суммы двугранных углов этого многогранного угла разделим его на два компонента: трёхгранный угол с двугранными углами \(S d_1 e d_1\) и \(e d_2 e d_n\), а также \((n-1)\)-гранный угол с двугранными углами \(S d_2 e d_3, \ldots, e d_{n-1} e d_n\). При этом сумма двугранных углов исходного \(n\)-гранного угла равна сумме двугранных углов этих двух частей.

Для трёхгранного угла известно, что сумма двугранных углов больше \(180^\circ\). Это базовый случай, который можно считать отправной точкой для дальнейших рассуждений. Далее применим метод математической индукции: предположим, что для \((n-1)\)-гранного угла сумма двугранных углов строго больше \(180^\circ (n-3)\). Тогда, учитывая, что сумма двугранных углов \(n\)-гранного угла есть сумма двугранных углов трёхгранного и \((n-1)\)-гранного углов, получаем неравенство для суммы двугранных углов \(n\)-гранного угла:

\[
\text{Сумма} > 180^\circ + 180^\circ (n-3) = 180^\circ (n-2).
\]

Таким образом, используя базовый случай и индуктивное предположение, мы доказали, что сумма двугранных углов любого \(n\)-гранного угла строго больше \(180^\circ (n-2)\). Это утверждение обобщает известный факт для трёхгранных углов и показывает, как с увеличением числа граней растёт нижняя оценка суммы двугранных углов.