ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше \(360^\circ\).

Рассмотрим \(n\)-гранный угол с плоскостями граней \(S d_1, S d_2, \ldots, S d_n\). Пусть \(S B\) — прямая пересечения плоскостей \(S d_1\) и \(S d_n\).

Воспользуемся теоремой 17.2 и результатами задачи 17.3. Применяя метод математической индукции, получим, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше \(360^\circ\).

Рассмотрим выпуклый многогранный угол с вершиной в точке \(S\), образованный \(n\) плоскостями \(S d_1, S d_2, \ldots, S d_n\). Каждая пара соседних плоскостей пересекается по прямой, и эти плоскости образуют плоские углы при вершине \(S\). Обозначим сумму всех этих плоских углов как \( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \).

Выберем прямую \(S B\), которая является линией пересечения первых и последних плоскостей \(S d_1\) и \(S d_n\). Эта прямая служит базой для построения вспомогательных плоскостей и углов, необходимых для доказательства. В частности, мы можем рассмотреть плоскость, проходящую через \(S B\) и другую грань многогранного угла, чтобы проанализировать взаимное расположение углов.

Применяя теорему 17.2, которая утверждает связь между плоскими углами и пространственными углами, и используя результаты задачи 17.3, доказывающей свойства суммы углов при пересечении плоскостей, мы можем с помощью метода математической индукции показать, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла строго меньше \(360^\circ\). Индукция начинается с трёхгранного угла, для которого сумма углов меньше \(360^\circ\), и затем доказывается для \(n\)-гранного угла, используя предположение для \((n-1)\)-гранного. Таким образом, получаем неравенство: \( \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n < 360^\circ \).