ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если все плоские углы трёхгранного угла больше 90°, то все его двугранные углы также больше 90°.

Если все плоские углы трёхгранного угла \( \alpha, \beta, \gamma \) больше \( 90^\circ \), то по теореме косинусов для трёхгранного угла двугранные углы связаны с плоскими углами формулами вида

\( \cos \theta = \frac{\cos \alpha — \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma} \).

При \( \alpha, \beta, \gamma > 90^\circ \) косинусы этих углов отрицательны, что приводит к отрицательным значениям косинусов двугранных углов \( \theta \), то есть

\( \theta > 90^\circ \).

Следовательно, если все плоские углы больше \( 90^\circ \), то и все двугранные углы также больше \( 90^\circ \).

Пусть у трёхгранного угла плоские углы равны \( \alpha, \beta, \gamma \) и все они больше \( 90^\circ \), то есть \( \alpha > 90^\circ \), \( \beta > 90^\circ \), \( \gamma > 90^\circ \). Плоские углы образуются пересечением граней с плоскостью, а двугранные углы — это углы между самими гранями. Для связи плоских и двугранных углов используется теорема косинусов трёхгранного угла, которая выражает косинус двугранного угла через косинусы и синусы плоских углов.

Формула для косинуса двугранного угла \( \theta \), лежащего напротив плоского угла \( \alpha \), имеет вид: \( \cos \theta = \frac{\cos \alpha — \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma} \). Аналогично для двугранных углов напротив \( \beta \) и \( \gamma \) формулы выглядят так же, меняются только индексы. Поскольку все плоские углы \( \alpha, \beta, \gamma \) больше \( 90^\circ \), их косинусы отрицательны, то есть \( \cos \alpha < 0 \), \( \cos \beta < 0 \), \( \cos \gamma < 0 \).

Подставляя отрицательные значения косинусов в формулу, числитель \( \cos \alpha — \cos \beta \cos \gamma \) становится отрицательным минус произведение двух отрицательных чисел, что даёт положительное число, но при этом знаменатель \( \sin \beta \sin \gamma \) положителен, так как синусы углов больше \( 90^\circ \) положительны. В итоге значение \( \cos \theta \) оказывается отрицательным, значит двугранный угол \( \theta \) больше \( 90^\circ \), так как косинус угла больше \( 90^\circ \) отрицателен. Аналогично для остальных двугранных углов.

Таким образом, если все плоские углы трёхгранного угла больше \( 90^\circ \), то по теореме косинусов двугранные углы будут иметь отрицательные косинусы, а значит все двугранные углы также больше \( 90^\circ \). Это доказывает утверждение, что условие на плоские углы автоматически гарантирует соответствующее условие на двугранные углы.