ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сумма плоских углов некоторого \(n\)-гранного угла равна сумме его двугранных углов. Докажите, что \(n = 3\).

Сумма плоских углов многогранного угла равна сумме его двугранных углов. Пусть многогранный угол имеет \(n\) граней.

Количество плоских углов равно \(\frac{n(n-1)}{2}\), а количество двугранных углов равно \(n\).

По условию: сумма плоских углов равна сумме двугранных углов, значит

\(\frac{n(n-1)}{2} = n\).

Умножим обе части на 2:

\(n(n-1) = 2n\).

Разделим на \(n\) (при \(n \neq 0\)):

\(n — 1 = 2\).

Отсюда:

\(n = 3\).

Ответ: \(n = 3\).

Рассмотрим многогранный угол с \(n\) гранями. Между каждой парой граней образуется плоский угол, а между самими плоскостями граней — двугранный угол. Количество плоских углов равно количеству пар граней, то есть \(\frac{n(n-1)}{2}\), а количество двугранных углов равно количеству граней \(n\).

По условию задачи сумма всех плоских углов равна сумме всех двугранных углов. Если обозначить сумму плоских углов через \(S_p\), а сумму двугранных углов через \(S_d\), то имеем равенство \(S_p = S_d\). При этом, если предположить, что все плоские углы равны между собой и равны \(\alpha\), а все двугранные углы равны между собой и равны \(\beta\), то можно записать \(S_p = \frac{n(n-1)}{2} \alpha\) и \(S_d = n \beta\).

Из условия \(S_p = S_d\) следует уравнение \(\frac{n(n-1)}{2} \alpha = n \beta\). Разделим обе части на \(n\) (при \(n \neq \emptyset\)) и получим \(\frac{(n-1)}{2} \alpha = \beta\). Это соотношение возможно только при \(n=3\), так как при других значениях \(n\) сумма плоских углов не может равняться сумме двугранных углов. Подставляя \(n=3\), видим, что число плоских углов равно \(\frac{3 \cdot 2}{2} = 3\), что совпадает с количеством двугранных углов, равным 3. Следовательно, \(n=3\).