ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В окружность вписаны две равнобокие трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.

Дано: трапеции \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) равнобокие, вписанные в окружность, с параллельными сторонами.

Угол при вершине \(C\) равен углу при вершине \(C_1\), то есть \(\angle C = \angle C_1 = \alpha\).

Диагональ \(BD = 2R \sin \alpha\), где \(R\) — радиус окружности.

Аналогично, диагональ \(B_1D_1 = 2R \sin \alpha\).

Следовательно, \(BD = B_1D_1\).

Равнобокие трапеции \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) вписаны в одну окружность, что означает, что все их вершины лежат на этой окружности. В таких трапециях боковые стороны равны, а пары оснований параллельны: \(AB \parallel CD\) и \(A_1B_1 \parallel C_1D_1\). Поскольку трапеции вписаны в окружность, углы при основаниях, смежные с боковыми сторонами, связаны свойствами вписанных углов.

В частности, углы при вершинах \(C\) и \(C_1\) равны, обозначим их через \(\alpha\). Это связано с тем, что углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Тогда длина диагонали \(BD\) первой трапеции выражается через радиус \(R\) окружности и угол \(\alpha\) как \(BD = 2R \sin \alpha\). Аналогично для второй трапеции диагональ \(B_1D_1\) равна \(2R \sin \alpha\), так как угол \(C_1\) такой же, а радиус окружности общий.

Из равенства диагоналей \(BD\) и \(B_1D_1\) следует, что \(BD = B_1D_1\). Это доказывает, что диагонали равнобоких трапеций, вписанных в одну окружность и имеющих соответствующие параллельные стороны, равны. Таким образом, свойство вписанных углов и равенство радиусов окружности обеспечивают равенство диагоналей данных трапеций.