ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, а противолежащий этой стороне угол равен \(120^\circ\). Найдите площадь треугольника.

Дано: \( BK=3 \), \( KC=4 \), угол \( A=120^\circ \). Обозначим \( AB=x+3 \), \( AC=x+4 \).

По теореме косинусов: \( 7^2=(x+3)^2+(x+4)^2-(x+3)(x+4) \).

Раскроем скобки: \( 49= x^2+6x+9 + x^2+8x+16 — x^2 — 7x — 12 \).

Упростим: \( 49 = x^2 + 7x + 13 \).

Переносим 49: \( x^2 + 7x — 36=0 \).

Решаем квадратное уравнение: \( x = \frac{-7 \pm \sqrt{49+144}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{193}}{2} \).

Берём положительный корень.

Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} (x+3)(x+4) \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4} (x+3)(x+4) \).

Подставляем \( x \), получаем \( S = 4 \sqrt{3} \).

В треугольнике \( ABC \) угол \( A \) равен \( 120^\circ \), а точка касания вписанной окружности с стороной \( BC \) делит её на отрезки \( BK=3 \) и \( KC=4 \). Из свойства касательных от точки к окружности известно, что отрезки от вершины до точек касания равны, поэтому обозначим \( AB = x + 3 \) и \( AC = x + 4 \), где \( x \) — неизвестная длина, которую нужно найти.

Для нахождения \( x \) применим теорему косинусов к треугольнику \( ABC \) со стороной \( BC = BK + KC = 7 \). Теорема косинусов гласит, что \( BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \). Подставляя известные значения, получаем уравнение: \( 7^{2} = (x+3)^{2} + (x+4)^{2} — 2(x+3)(x+4) \cos 120^\circ \). Так как \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \), уравнение преобразуется в \( 49 = (x+3)^{2} + (x+4)^{2} + (x+3)(x+4) \).

Раскроем скобки: \( (x+3)^{2} = x^{2} + 6x + 9 \), \( (x+4)^{2} = x^{2} + 8x + 16 \), и \( (x+3)(x+4) = x^{2} + 7x + 12 \). Сложив, получаем \( 49 = x^{2} + 6x + 9 + x^{2} + 8x + 16 + x^{2} + 7x + 12 = 3x^{2} + 21x + 37 \). Переносим 49 в правую часть: \( 0 = 3x^{2} + 21x + 37 — 49 = 3x^{2} + 21x — 12 \).

Делим уравнение на 3 для упрощения: \( x^{2} + 7x — 4 = 0 \). Решаем квадратное уравнение по формуле: \( x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 16}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{2} \). Из двух корней выбираем положительный: \( x = \frac{-7 + \sqrt{65}}{2} \).

Для нахождения площади треугольника используем формулу: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 120^\circ \). Подставляя длины, получаем \( AB = x + 3 = \frac{-7 + \sqrt{65}}{2} + 3 = \frac{-1 + \sqrt{65}}{2} \) и \( AC = x + 4 = \frac{-7 + \sqrt{65}}{2} + 4 = \frac{1 + \sqrt{65}}{2} \). Значение \( \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Перемножим \( AB \) и \( AC \): \( (x+3)(x+4) = \frac{-1 + \sqrt{65}}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{65}}{2} = \frac{(-1 + \sqrt{65})(1 + \sqrt{65})}{4} \). Раскрывая скобки, получаем \( (-1)(1) + (-1)(\sqrt{65}) + \sqrt{65} \cdot 1 + \sqrt{65} \cdot \sqrt{65} = -1 — \sqrt{65} + \sqrt{65} + 65 = 64 \). Таким образом, произведение равно \( \frac{64}{4} = 16 \).

Подставляем в формулу площади: \( S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} \). Получаем площадь треугольника \( ABC \) равной \( 4 \sqrt{3} \) квадратных сантиметров.