ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоские углы \(ASB\), \(BSC\) и \(CSA\) трёхгранного угла \(SABC\) равны 45°, 45° и 60° соответственно. Найдите двугранный угол при ребре \(SC\).

Плоские углы трёхгранного угла при вершине \(S\) равны \(45^\circ\), \(45^\circ\) и \(60^\circ\).

Двугранный угол при ребре \(SC\) вычисляется по формуле
\(\cos \theta = \frac{\cos 45^\circ — \cos 45^\circ \cdot \cos 60^\circ}{\sin 45^\circ \cdot \sin 60^\circ}\).

Подставляем значения:
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Получаем
\(\cos \theta = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Ответ:
\(\theta = \arccos \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Дано три плоских угла трёхгранного угла при вершине \(S\): \(\angle ASB = 45^\circ\), \(\angle BSC = 45^\circ\), \(\angle CSA = 60^\circ\). Нужно найти двугранный угол при ребре \(SC\). Для этого используем формулу, связывающую плоские углы с двугранным углом. Пусть \(\theta\) — искомый двугранный угол при ребре \(SC\). Тогда по геометрии трёхгранного угла существует формула:
\(\cos \theta = \frac{\cos \angle BSC — \cos \angle ASB \cdot \cos \angle CSA}{\sin \angle ASB \cdot \sin \angle CSA}\).

Подставим известные значения углов: \(\angle BSC = 45^\circ\), \(\angle ASB = 45^\circ\), \(\angle CSA = 60^\circ\). Для вычисления нам нужны значения тригонометрических функций:
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляя их в формулу, получаем:
\(\cos \theta = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{4} — \frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\).

Упростим дробь: \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Значит,
\(\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Чтобы найти угол \(\theta\), возьмём арккосинус:
\(\theta = \arccos \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Таким образом, двугранный угол при ребре \(SC\) равен \(\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}\). Эта величина выражает угол между плоскостями, образованными ребром \(SC\), и определяется через известные плоские углы трёхгранного угла в вершине \(S\).