ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоские углы \(ASB\) и \(BSC\) трёхгранного угла \(SABC\) равны 45°. Двугранный угол при ребре \(SB\) равен 60°. Найдите плоский угол \(ASC\).

Даны плоские углы \(\angle ASB = 45^\circ\), \(\angle BSC = 45^\circ\) и двугранный угол при ребре \(SB = 60^\circ\).

Для нахождения плоского угла \(\angle ASC\) используем формулу:

\(\cos \angle ASC = \cos \angle ASB \cdot \cos \angle BSC + \sin \angle ASB \cdot \sin \angle BSC \cdot \cos 60^\circ\).

Подставляем значения:

\(\cos \angle ASC = \cos 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 45^\circ \cdot \sin 45^\circ \cdot \frac{1}{2}  = \frac{3}{4}\).

Ответ: \(\angle ASC = \arccos \frac{3}{4}\).

Дано, что плоские углы \(\angle ASB\) и \(\angle BSC\) равны 45 градусам, а двугранный угол при ребре \(SB\) равен 60 градусам. Эти данные означают, что линии \(AS\) и \(SB\) лежат в одной плоскости, образуя угол 45 градусов, линии \(SB\) и \(SC\) тоже лежат в другой плоскости с углом 45 градусов. Двугранный угол — это угол между двумя плоскостями, в нашем случае между плоскостями, содержащими углы \(ASB\) и \(BSC\), он равен 60 градусам. Нужно найти плоский угол \(\angle ASC\), который образуют линии \(AS\) и \(SC\).

Для решения задачи применяем формулу косинуса угла между двумя прямыми, лежащими в разных плоскостях, учитывая двугранный угол между этими плоскостями. Формула имеет вид: \(\cos \angle ASC = \cos \angle ASB \cdot \cos \angle BSC + \sin \angle ASB \cdot \sin \angle BSC \cdot \cos \theta\), где \(\theta\) — двугранный угол между плоскостями. В нашем случае \(\theta = 60^\circ\), \(\angle ASB = 45^\circ\), \(\angle BSC = 45^\circ\). Подставляя значения, получаем: \(\cos \angle ASC = \cos 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 45^\circ \cdot \sin 45^\circ \cdot \cos 60^\circ\).

Вычислим отдельно каждое значение: \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Подставляем: \(\cos \angle ASC = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Значит, плоский угол \(\angle ASC\) равен \(\arccos \frac{3}{4}\).