ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоские углы \(ASB\) и \(ASC\) трёхгранного угла \(SABC\) соответственно равны 90° и 60°. Двугранный угол при ребре \(SB\) равен 45°. Найдите плоский угол \(BSC\).

Даны углы \(\angle ASB = 90^\circ\), \(\angle ASC = 60^\circ\) и двугранный угол при ребре \(SB = 45^\circ\).

Плоский угол \(\angle BSC\) вычисляется по формуле:
\(\cos \angle BSC = \cos \angle ASB \cdot \cos \angle ASC + \sin \angle ASB \cdot \sin \angle ASC \cdot \cos 45^\circ\).

Подставляем значения:
\(\cos \angle BSC = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}\).

Тогда \(\angle BSC = \arccos \frac{\sqrt{6}}{4} = 45^\circ\).

Ответ: \(\angle BSC = 45^\circ\).

Дано, что плоский угол \(\angle ASB\) равен \(90^\circ\), а плоский угол \(\angle ASC\) равен \(60^\circ\). Также известно, что двугранный угол при ребре \(SB\) равен \(45^\circ\). Двугранный угол — это угол между двумя плоскостями, в данном случае между плоскостями \(SAB\) и \(SBC\), которые имеют общее ребро \(SB\). Для нахождения плоского угла \(\angle BSC\) необходимо использовать формулу, связывающую плоские углы и двугранный угол.

Формула для вычисления плоского угла \(\angle BSC\) через известные углы \(\angle ASB\), \(\angle ASC\) и двугранный угол \(\theta = 45^\circ\) имеет вид:
\(\cos \angle BSC = \cos \angle ASB \cdot \cos \angle ASC + \sin \angle ASB \cdot \sin \angle ASC \cdot \cos \theta\).
Эта формула отражает геометрическую связь между углами в трёхгранном угле и позволяет выразить искомый угол через известные значения.

Подставим известные значения в формулу:
\(\cos 90^\circ = 0\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 90^\circ = 1\), \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Тогда
\(\cos \angle BSC = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}\).
Отсюда следует, что
\(\angle BSC = \arccos \frac{\sqrt{6}}{4} = 45^\circ\).

Ответ: \(\angle BSC = 45^\circ\).