ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребро \(AD\) равно 1 см, а каждое из рёбер \(AB\) и \(AA_1\) равно 2 см. Найдите угол между плоскостями \(AB_1D\) и \(CB_1D\).

В прямоугольном параллелепипеде \(AD = 1\), \(AB = AA_1 = 2\). Координаты точек: \(A(0,0,0)\), \(B(2,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(B_1(2,0,2)\).

Векторы в плоскости \(AB_1D\): \(\overrightarrow{B_1A} = (-2,0,-2)\), \(\overrightarrow{B_1D} = (-2,1,-2)\).

Векторы в плоскости \(CB_1D\): \(\overrightarrow{B_1C} = (0,1,-2)\), \(\overrightarrow{B_1D} = (-2,1,-2)\).

Нормали к плоскостям: \(\vec{n}_1 = \overrightarrow{B_1A} \times \overrightarrow{B_1D} = (2,0,-2)\), \(\vec{n}_2 = \overrightarrow{B_1C} \times \overrightarrow{B_1D} = (0,4,2)\).

Угол между плоскостями: \(\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \frac{4}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\).

Ответ: \(\theta = \arccos \frac{\sqrt{10}}{10}\).

В прямоугольном параллелепипеде заданы ребра \(AD = 1\), \(AB = AA_1 = 2\). Для удобства выберем систему координат так, чтобы точка \(A\) была в начале координат: \(A(0,0,0)\). Тогда \(B\) будет иметь координаты \(B(2,0,0)\), так как длина \(AB = 2\), а \(D\) — \(D(0,1,0)\), так как \(AD = 1\). Точка \(B_1\) располагается над \(B\) на высоте \(AA_1 = 2\), значит \(B_1(2,0,2)\).

Для нахождения угла между плоскостями \(AB_1D\) и \(CB_1D\) нужно найти нормали к этим плоскостям. Плоскости пересекаются по прямой \(B_1D\), значит углы между плоскостями равны углам между их нормалями. В плоскости \(AB_1D\) возьмём два вектора, исходящие из точки \(B_1\): \(\overrightarrow{B_1A} = A — B_1 = (-2,0,-2)\) и \(\overrightarrow{B_1D} = D — B_1 = (-2,1,-2)\). Их векторное произведение даёт нормаль к плоскости: \(\vec{n}_1 = \overrightarrow{B_1A} \times \overrightarrow{B_1D} = (2,0,-2)\).

В плоскости \(CB_1D\) аналогично берём векторы \(\overrightarrow{B_1C} = C — B_1 = (0,1,-2)\) и \(\overrightarrow{B_1D} = (-2,1,-2)\). Их векторное произведение — нормаль к плоскости: \(\vec{n}_2 = \overrightarrow{B_1C} \times \overrightarrow{B_1D} = (0,4,2)\).

Угол между плоскостями равен углу между нормалями, который находится по формуле \(\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}\). Скалярное произведение \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + (-2) \cdot 2 = -4\). Длины нормалей: \( |\vec{n}_1| = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}\), \( |\vec{n}_2| = \sqrt{0^{2} + 4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}\). Подставляем: \(\cos \theta = \frac{4}{2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{5}} = \frac{4}{4 \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\).

Итоговый угол между плоскостями: \(\theta = \arccos \frac{\sqrt{10}}{10}\).