ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 18.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите ГМТ, расстояния от которых до двух данных параллельных плоскостей относятся, как \(2 : 1\).

Пусть две параллельные плоскости заданы уравнениями \( \pi_1: Ax + By + Cz + D_1 = 0 \) и \( \pi_2: Ax + By + Cz + D_2 = 0 \).

Расстояние между плоскостями равно \( \frac{|D_1 — D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \).

Искомые плоскости, расстояния от которых до данных относятся как \( 2 : 1 \), параллельны исходным и находятся внутри между ними.

Если \( d \) — расстояние между исходными плоскостями, то искомые плоскости расположены на расстояниях \( \frac{d}{3} \) и \( \frac{2d}{3} \) от одной из данных плоскостей.

Таким образом, геометрическое место точек — две плоскости, параллельные данным, идущие между ними так, что расстояния до исходных плоскостей относятся как \( 2 : 1 \).

Пусть даны две параллельные плоскости с уравнениями \( \pi_1: Ax + By + Cz + D_1 = 0 \) и \( \pi_2: Ax + By + Cz + D_2 = 0 \). Они параллельны, так как имеют одинаковые коэффициенты при \( x, y, z \). Расстояние между этими плоскостями вычисляется по формуле \( d = \frac{|D_1 — D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \). Это расстояние является длиной перпендикуляра, опущенного с одной плоскости на другую.

Нужно найти геометрическое место точек, расстояния от которых до плоскостей \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \) относятся как \( 2 : 1 \). Обозначим расстояния от точки \( M \) до плоскостей как \( d_1 \) и \( d_2 \), тогда по условию \( \frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{1} \), то есть \( d_1 = 2 d_2 \). Поскольку плоскости параллельны, все точки, у которых расстояния до них связаны таким отношением, лежат на двух плоскостях, параллельных исходным.

Эти искомые плоскости находятся между \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \). Если принять расстояние между исходными плоскостями за \( d \), то искомые плоскости расположены на расстояниях \( \frac{d}{3} \) и \( \frac{2d}{3} \) от одной из исходных плоскостей. Это объясняется тем, что если точка находится на плоскости, удаленной от \( \pi_1 \) на \( \frac{d}{3} \), то расстояние до \( \pi_2 \) будет \( \frac{2d}{3} \), и отношение расстояний будет \( \frac{2d/3}{d/3} = 2 \). Аналогично для плоскости на расстоянии \( \frac{2d}{3} \). Таким образом, геометрическое место точек — две плоскости, параллельные данным, расположенные между ними на указанных расстояниях.