ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 18.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\). Найдите ГМТ, расстояния от которых до плоскости \(\alpha\) в три раза больше, чем до плоскости \(\beta\).

Даны параллельные плоскости расстояние между которыми \(h\). Пусть точка \(M\) находится на расстоянии \(d_\alpha\) от плоскости \(\alpha\) и \(d_\beta\) от плоскости \(\beta\). По условию \(d_\alpha = 3 d_\beta\).

Так как плоскости параллельны, то \(d_\alpha + d_\beta = h\).

Подставляем \(d_\alpha = 3 d_\beta\), получаем \(3 d_\beta + d_\beta = h\), значит \(4 d_\beta = h\), откуда \(d_\beta = \frac{h}{4}\).

Тогда \(d_\alpha = 3 \cdot \frac{h}{4} = \frac{3h}{4}\).

Геометрическое место точек — плоскость, параллельная \(\alpha\) и \(\beta\), отстоящая от \(\alpha\) на расстоянии \(\frac{3h}{4}\).

Пусть даны две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), расстояние между которыми равно \(h\). Рассмотрим точку \(M\), для которой известно, что расстояние до плоскости \(\alpha\) в три раза больше, чем до плоскости \(\beta\). Обозначим расстояния от точки \(M\) до плоскостей как \(d_\alpha\) и \(d_\beta\) соответственно. По условию задачи имеем равенство \(d_\alpha = 3 d_\beta\).

Так как плоскости параллельны, то расстояние между ними на любом перпендикуляре одинаково и равно \(h\). Точка \(M\), лежащая между этими плоскостями, удовлетворяет уравнению суммы расстояний: \(d_\alpha + d_\beta = h\). Это связано с тем, что сумма расстояний от точки до двух параллельных плоскостей равна расстоянию между этими плоскостями, если точка находится между ними.

Подставляя выражение \(d_\alpha = 3 d_\beta\) в уравнение суммы, получаем \(3 d_\beta + d_\beta = h\), что упрощается до \(4 d_\beta = h\). Отсюда следует, что \(d_\beta = \frac{h}{4}\). Значит, расстояние от точки до плоскости \(\beta\) составляет одну четверть всего расстояния между плоскостями. Тогда расстояние от точки до плоскости \(\alpha\) будет равно \(d_\alpha = 3 \cdot \frac{h}{4} = \frac{3h}{4}\).

Таким образом, множество всех точек \(M\), для которых выполняется условие \(d_\alpha = 3 d_\beta\), образует плоскость, параллельную плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\), расположенную между ними на расстоянии \(\frac{3h}{4}\) от плоскости \(\alpha\). Эта плоскость — геометрическое место точек, удовлетворяющих заданному соотношению расстояний.