ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 18.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан треугольник \(ABC\). Найдите ГМТ, равноудалённых от прямых \(AB\), \(BC\) и \(CA\).

Геометрическое место точек, равноудалённых от прямых \(AB\), \(BC\) и \(CA\), — это точка, которая находится на одинаковом расстоянии от всех трёх сторон треугольника \(ABC\).

Такой точкой является центр вписанной окружности треугольника, который находится на пересечении биссектрис углов \(A\), \(B\) и \(C\).

Следовательно, ГМТ равноудалённых от прямых \(AB\), \(BC\) и \(CA\) — это центр вписанной окружности треугольника \(ABC\).

Геометрическое место точек, равноудалённых от трёх прямых \(AB\), \(BC\) и \(CA\), являющихся сторонами треугольника \(ABC\), представляет собой множество точек, расстояния от которых до каждой из этих прямых одинаковы. Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, опущенному из этой точки на данную прямую. Если точка равноудалена от всех трёх сторон, то она лежит на одинаковом расстоянии от каждой из них.

Такой точкой является центр вписанной окружности треугольника, который определяется как точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных. В треугольнике три биссектрисы, и они пересекаются в одной точке, называемой инцентром. Инцентр обладает свойством равноудалённости от всех сторон треугольника, поэтому он и является искомым геометрическим местом точек.

Таким образом, геометрическое место точек, равноудалённых от прямых \(AB\), \(BC\) и \(CA\), — это единственная точка, которая находится на одинаковом расстоянии от всех трёх сторон. Эта точка — центр вписанной окружности треугольника \(ABC\), который можно найти как пересечение биссектрис углов \(A\), \(B\) и \(C\).