ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 18.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите ГМТ, принадлежащих трёхгранному углу и равноудалённых от его граней.

Геометрическое место точек, равноудалённых от трёх граней трёхгранного угла, — это биссектор этого угла.

Пусть три грани заданы плоскостями \( \alpha, \beta, \gamma \). Расстояния от точки \( M \) до этих плоскостей равны: \( d(M, \alpha) = d(M, \beta) = d(M, \gamma) \).

Точки, удовлетворяющие условию \( d(M, \alpha) = d(M, \beta) = d(M, \gamma) \), лежат на биссекторе трёхгранного угла.

Рассмотрим трёхгранный угол, образованный тремя плоскостями \( \alpha, \beta, \gamma \), пересекающимися в одной точке — вершине угла. Геометрическое место точек, равноудалённых от всех трёх граней, означает, что для любой точки \( M \) из этого множества выполняется равенство расстояний до каждой из плоскостей: \( d(M, \alpha) = d(M, \beta) = d(M, \gamma) \).

Расстояние от точки до плоскости определяется как длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Если точка \( M \) равноудалена от трёх плоскостей, значит она лежит на линии, которая одновременно является биссектором трёхгранного угла. Эта линия проходит через вершину угла и делит угол на три равных части. Именно на этой линии расстояния до трёх граней равны, так как она симметрична относительно всех трёх плоскостей.

Таким образом, геометрическое место точек, удовлетворяющих условию равенства расстояний, — это луч, исходящий из вершины трёхгранного угла, который называется биссектором трёхгранного угла. Все точки на этом луче имеют одинаковое минимальное расстояние до каждой из трёх граней, а вне этого луча расстояния будут различаться. Следовательно, искомое геометрическое место — биссектор трёхгранного угла.