ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 18.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите ГМТ, принадлежащих трёхгранному углу и равноудалённых от его рёбер.

Рассмотрим трёхгранный угол с вершиной \(O\) и рёбрами.

Плоскости, проходящие через биссектрисы плоских углов, перпендикулярны соответствующим плоскостям углов. Линия пересечения этих плоскостей является множеством точек, равноудалённых от рёбер.

Геометрическое место точек равноудалённых от рёбер — луч с вершиной в \(O\), лежащий на линии пересечения указанных плоскостей.

Рассмотрим трёхгранный угол с вершиной \(O\), образованный тремя плоскостями, пересекающимися в этой точке. Каждая пара плоскостей образует плоский угол, у которого есть биссектриса — луч, делящий угол пополам. В трёхгранном угле таких плоских углов три, и у каждого есть своя биссектриса.

Пусть плоскости трёхгранного угла обозначены как \( \alpha, \beta, \gamma \), а биссектрисы плоских углов — как лучи, лежащие в этих плоскостях. Теперь рассмотрим плоскости, проходящие через эти биссектрисы и перпендикулярные к соответствующим плоскостям углов. Такие плоскости пересекаются по линии, которая является геометрическим местом точек, равноудалённых от рёбер трёхгранного угла.

Эта линия пересечения плоскостей начинается в вершине \(O\) и образует луч. Все точки на этом луче имеют одинаковое расстояние до каждого из трёх рёбер. Таким образом, геометрическим местом точек, равноудалённых от рёбер трёхгранного угла, является луч с вершиной в \(O\), лежащий на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.