ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 18.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны параллелограмма равны \(a\) и \(b\), а диагонали — \(m\) и \(n\). Докажите, что \(a^4 + b^4 = m^2 n^2\) тогда и только тогда, когда острый угол параллелограмма равен \(45^\circ\).

Стороны параллелограмма равны \(a\) и \(b\), диагонали — \(m\) и \(n\), угол — \(\theta\).

Используем формулы для диагоналей: \(m^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos \theta\), \(n^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta\).

Произведение диагоналей: \(m^2 n^2 = (a^2 + b^2)^2 — (2ab \cos \theta)^2 = a^4 + 2a^2 b^2 + b^4 — 4a^2 b^2 \cos^2 \theta\).

Приравниваем к \(a^4 + b^4\): \(a^4 + b^4 = a^4 + 2a^2 b^2 + b^4 — 4a^2 b^2 \cos^2 \theta\).

Упрощаем: \(0 = 2a^2 b^2 — 4a^2 b^2 \cos^2 \theta\), значит \(1 — 2 \cos^2 \theta = 0\).

Отсюда \(\cos^2 \theta = \frac{1}{2}\), значит \(\theta = 45^\circ\).

Пусть стороны параллелограмма равны \(a\) и \(b\), а угол между ними — \(\theta\). Диагонали этого параллелограмма обозначим через \(m\) и \(n\). По свойствам параллелограмма длины диагоналей выражаются через стороны и угол следующим образом: \(m^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos \theta\) и \(n^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta\). Эти формулы получаются из закона косинусов, применённого к треугольникам, образованным диагоналями и сторонами параллелограмма.

Рассмотрим произведение диагоналей в квадрате: \(m^2 n^2 = (a^2 + b^2 — 2ab \cos \theta)(a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta)\). Это произведение является разностью квадратов, поэтому его можно упростить до: \(m^2 n^2 = (a^2 + b^2)^2 — (2ab \cos \theta)^2\). Раскрывая скобки, получаем: \(m^2 n^2 = a^4 + 2a^2 b^2 + b^4 — 4a^2 b^2 \cos^2 \theta\).

Для выполнения условия задачи приравниваем \(m^2 n^2\) к \(a^4 + b^4\). Получаем равенство: \(a^4 + b^4 = a^4 + 2a^2 b^2 + b^4 — 4a^2 b^2 \cos^2 \theta\). Упростим это выражение, вычтя \(a^4 + b^4\) из обеих частей: \(0 = 2a^2 b^2 — 4a^2 b^2 \cos^2 \theta\). Делим обе части на \(2a^2 b^2\), так как стороны не равны нулю, и получаем: \(1 — 2 \cos^2 \theta = 0\). Отсюда следует, что \(\cos^2 \theta = \frac{1}{2}\), а значит \(\theta = 45^\circ\).