ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 18.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На данной плоскости \(\alpha\) найдите точки, равноудалённые от данных точек \(A\) и \(B\).

Точки, равноудалённые от \(A\) и \(B\), лежат на серединном перпендикуляре к отрезку \(AB\).

Середина отрезка \(AB\) — точка \(M\), где \(M = \frac{A+B}{2}\).

Прямая, проходящая через \(M\) и перпендикулярная \(AB\), содержит все точки, равноудалённые от \(A\) и \(B\).

Точки, равноудалённые от двух данных точек \(A\) и \(B\), находятся на прямой, которая называется серединным перпендикуляром к отрезку \(AB\). Эта прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Чтобы найти такую прямую, сначала нужно определить середину отрезка \(AB\). Если координаты точек \(A\) и \(B\) заданы как \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\), то координаты середины \(M\) вычисляются по формулам \(M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}\) и \(M_y = \frac{y_1 + y_2}{2}\).

Прямая, проходящая через точку \(M\) и перпендикулярная отрезку \(AB\), содержит все точки, у которых расстояния до \(A\) и до \(B\) равны. Это объясняется тем, что для любой точки \(P\) на этой прямой выполняется равенство \(PA = PB\), где \(PA\) и \(PB\) — длины отрезков от точки \(P\) до точек \(A\) и \(B\) соответственно. Геометрически это означает, что точка \(P\) лежит на серединном перпендикуляре, так как он является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка.

Таким образом, чтобы найти все точки плоскости \(\alpha\), равноудалённые от \(A\) и \(B\), нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку \(AB\). Этот перпендикуляр проходит через середину отрезка и делит его на два равных отрезка, а все точки на этой прямой будут иметь равные расстояния до \(A\) и \(B\). Поэтому искомые точки — это все точки серединного перпендикуляра к \(AB\).