ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 18.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите ГМТ середин всех отрезков, концы которых принадлежат двум данным параллельным плоскостям.

Пусть даны две параллельные плоскости.

Возьмём произвольный отрезок с концами на этих плоскостях.

Середина отрезка находится на равном расстоянии от обеих плоскостей.

ГМТ середин таких отрезков — плоскость, параллельная данным и проходящая посередине между ними.

Пусть даны две параллельные плоскости, обозначим их как \( \alpha \) и \( \beta \). Рассмотрим произвольный отрезок, один конец которого принадлежит плоскости \( \alpha \), а другой — плоскости \( \beta \). Обозначим эти концы как точки \( A \in \alpha \) и \( B \in \beta \).

Середина отрезка \( AB \) — точка \( M \), координаты которой находятся как среднее арифметическое координат точек \( A \) и \( B \). Поскольку плоскости параллельны, расстояние между ними постоянно, и точка \( M \) находится ровно посередине между плоскостями. Это значит, что расстояние от \( M \) до плоскости \( \alpha \) равно расстоянию от \( M \) до плоскости \( \beta \).

Геометрическое место таких точек \( M \) образует плоскость, которая параллельна плоскостям \( \alpha \) и \( \beta \), и находится на равном расстоянии от обеих. Если расстояние между плоскостями \( d \), то эта новая плоскость проходит на расстоянии \( \frac{d}{2} \) от каждой из них. Таким образом, ГМТ середин всех отрезков с концами на данных плоскостях — это плоскость, параллельная исходным и расположенная посередине между ними.