ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 18.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) не принадлежит плоскости \(\alpha\). Найдите ГМТ середин всех отрезков \(MX\), концы \(X\) которых принадлежат плоскости \(\alpha\).

Точка \(M\) не принадлежит плоскости \(\alpha\). Рассмотрим все отрезки \(MX\), где \(X \in \alpha\).

Середина отрезка \(MX\) — точка \(S\), которая выражается как \(S = \frac{M + X}{2}\).

Так как \(X\) пробегает все точки плоскости \(\alpha\), то \(S\) пробегает все точки плоскости, параллельной \(\alpha\), проходящей через середину перпендикуляра из \(M\) к \(\alpha\).

Ответ: геометрическое место точек середин всех отрезков \(MX\) — плоскость, параллельная \(\alpha\).

Пусть точка \(M\) не принадлежит плоскости \(\alpha\). Рассмотрим произвольную точку \(X\) на плоскости \(\alpha\). Отрезок \(MX\) соединяет точку вне плоскости с точкой в плоскости. Середина этого отрезка — точка \(S\), координаты которой находятся по формуле \(S = \frac{M + X}{2}\), где сложение и деление выполняются по координатам.

Поскольку \(X\) пробегает все точки плоскости \(\alpha\), множество середин \(S\) будет состоять из точек, полученных усреднением координат точки \(M\) и всех точек плоскости \(\alpha\). Это значит, что множество точек \(S\) — это образ плоскости \(\alpha\), сдвинутый в сторону точки \(M\) вдвое ближе к ней. Геометрически это плоскость, параллельная \(\alpha\), так как операция усреднения сохраняет параллельность.

Если провести из точки \(M\) перпендикуляр к плоскости \(\alpha\) и отметить точку пересечения с \(\alpha\) как \(P\), то середина отрезка \(MP\) будет лежать в искомой плоскости середин. Все точки середин отрезков \(MX\), где \(X\) пробегает \(\alpha\), будут лежать в плоскости, проходящей через середину \(MP\) и параллельной \(\alpha\). Таким образом, геометрическое место точек середин всех таких отрезков — плоскость, параллельная \(\alpha\).