ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 18.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) не принадлежит плоскости \(\pi\). Найдите геометрическое место точек \(X\) плоскости \(\pi\) таких, что прямые \(MX\) образуют с плоскостью \(\pi\) углы, равные данному углу \(\alpha\).

Точка \( M’ \) — проекция точки \( M \) на плоскость \( \pi \).

Геометрическое место точек \( X \) плоскости \( \pi \), для которых угол между прямой \( MX \) и плоскостью \( \pi \) равен \( \alpha \), образует конус с вершиной в точке \( M \).

Пересечение этого конуса с плоскостью \( \pi \) — окружность с диаметром \( MM’ \).

Значит, множество точек \( X \) — это окружность в плоскости \( \pi \), для которой \( MM’ \) — диаметр, и угол \( \angle MXM’ = \alpha \).

Точка \( M’ \) — это ортогональная проекция точки \( M \) на плоскость \( \pi \). Она получается проведением перпендикуляра из точки \( M \) к плоскости \( \pi \). Такой подход позволяет связать трехмерное расположение точки \( M \) с плоскостью \( \pi \) через точку \( M’ \), лежащую в самой плоскости.

Угол между прямой \( MX \) и плоскостью \( \pi \) равен углу между прямой \( MX \) и её проекцией на плоскость, то есть отрезком \( XM’ \). Если обозначить этот угол как \( \alpha \), то по условию требуется найти все точки \( X \), для которых угол \( \angle MXM’ = \alpha \). Геометрически это означает, что точка \( X \) лежит на окружности, построенной в плоскости \( \pi \) так, что отрезок \( MM’ \) является её диаметром, а угол при точке \( X \) постоянен и равен \( \alpha \).

Таким образом, геометрическое место точек \( X \) — это окружность в плоскости \( \pi \) с диаметром \( MM’ \). Все точки \( X \) на этой окружности удовлетворяют условию \( \angle MXM’ = \alpha \), что соответствует заданному углу между прямой \( MX \) и плоскостью \( \pi \).