ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание прямой призмы — ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\). Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите диагонали призмы.

Основание — ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Большая диагональ ромба равна \(2a \cos \frac{\alpha}{2}\).

Диагональ призмы \(B_1D\) образует с плоскостью основания угол \(\beta\), значит длина диагонали призмы равна длине диагонали основания, делённой на \(\cos \beta\).

Получаем формулу \(B_1D = \frac{2a \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos \beta}\).

Ромб — это четырехугольник с равными сторонами и противоположными углами равными друг другу. Если сторона ромба равна \(a\), а острый угол — \(\alpha\), то диагонали ромба можно выразить через сторону и угол. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Большая диагональ ромба равна \(2a \cos \frac{\alpha}{2}\), а меньшая — \(2a \sin \frac{\alpha}{2}\). Эта формула получается из разложения ромба на два равных равнобедренных треугольника, где угол при вершине равен \(\alpha\).

В призме основанием служит этот ромб, а высота призмы перпендикулярна плоскости основания. Большая диагональ призмы — это отрезок, соединяющий вершину верхнего основания с противоположной вершиной нижнего основания. Этот отрезок образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Если рассмотреть проекцию диагонали призмы на плоскость основания, то она совпадает с большой диагональю ромба \(2a \cos \frac{\alpha}{2}\). Зная угол \(\beta\), можно найти длину диагонали призмы через отношение длины проекции к косинусу угла: длина диагонали призмы равна длине проекции, делённой на \(\cos \beta\).

Таким образом, длина большой диагонали призмы выражается формулой \(B_1D = \frac{2a \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos \beta}\). Эта формула учитывает как геометрию основания призмы, так и наклон диагонали относительно плоскости основания. Она позволяет определить длину диагонали призмы через известные параметры: сторону ромба \(a\), острый угол \(\alpha\) и угол \(\beta\) между диагональю и основанием.