ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольный треугольник \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)) является основанием прямой призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\). Через прямую \(CC_1\) проведена плоскость, перпендикулярная прямой \(AB\) и пересекающая ребро \(AB\) в точке \(D\). Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если \(AD = 18\) см, \(BD = 2\) см, а высота призмы равна 8 см.

Пусть \(D\) — точка на \(AB\), тогда \(AD=18\), \(BD=2\), \(AB=20\).

Расстояние \(CD\) вычисляется как \(CD=\sqrt{AD \cdot BD}=\sqrt{18 \cdot 2}=6\).

Высота призмы \(CC_1=8\).

Площадь сечения равна произведению \(CC_1\) на \(CD\): \(S=CC_1 \cdot CD=8 \cdot 6=48\) см².

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) точка \(D\) лежит на гипотенузе \(AB\), причём \(AD=18\) и \(BD=2\). Полная длина гипотенузы равна \(AB=AD+BD=20\). Чтобы найти расстояние \(CD\) от прямого угла \(C\) до точки \(D\) на гипотенузе, используется геометрическое свойство: длина перпендикуляра из вершины прямого угла на гипотенузу равна среднему геометрическому отрезков, на которые точка делит гипотенузу. Поэтому \(CD=\sqrt{AD \cdot BD}=\sqrt{18 \cdot 2}=\sqrt{36}=6\).

Призма построена на основании треугольника \(ABC\) с высотой \(CC_1=8\). Плоскость, проходящая через ребро \(CC_1\) и точку \(D\) на \(AB\), перпендикулярна \(AB\). Эта плоскость пересекает призму по четырёхугольнику, который можно рассматривать как прямоугольник с одной стороной, равной высоте призмы \(CC_1=8\), и другой стороной, равной расстоянию \(CD=6\).

Площадь сечения вычисляется как произведение этих двух сторон: \(S=CC_1 \cdot CD=8 \cdot 6=48\) см². Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной \(AB\) и проходящей через \(CC_1\) и \(D\), равна 48 квадратным сантиметрам.