ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольный треугольник \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)) является основанием прямой призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\), отрезок \(CM\) — медиана треугольника \(ABC\). Высота призмы равна гипотенузе её основания. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через прямые \(CC_1\) и \(CM\), если \(AC = 30\) см, \(BC = 40\) см.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с катетами \(AC=30\), \(BC=40\) гипотенуза \(AB=\sqrt{30^2+40^2}=50\). Высота призмы равна \(50\).

Точка \(M\) — середина \(AB\), \(M\left(\frac{30+0}{2}, \frac{0+40}{2}\right)=(15,20)\).

Плоскость проходит через \(C(0,0,0)\), \(C_1(0,0,50)\), \(M(15,20,0)\).

Сечение — четырёхугольник \(C M P C_1\), где \(P\) — пересечение плоскости с отрезком \(A_1 B_1\), \(P=(15,20,50)\).

Площадь сечения равна сумме площадей треугольников \(C M P\) и \(C P C_1\).

Векторы для \(C M P\): \(\vec{CM}=(15,20,0)\), \(\vec{CP}=(15,20,50)\), площадь \(\frac{1}{2}|\vec{CM} \times \vec{CP}| = \frac{1}{2} \times 1250 = 625\).

Векторы для \(C P C_1\): \(\vec{CP}=(15,20,50)\), \(\vec{CC_1}=(0,0,50)\), площадь \(\frac{1}{2}|\vec{CP} \times \vec{CC_1}| = 625\).

Итоговая площадь сечения \(625 + 625 = 1250\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\) даны катеты \(AC=30\) см и \(BC=40\) см. Для начала находим гипотенузу \(AB\) по теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{30^{2} + 40^{2}} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\) см. Высота призмы равна длине гипотенузы основания, то есть \(h = 50\) см. Это значит, что верхнее основание призмы — треугольник \(A_1 B_1 C_1\) — расположено параллельно плоскости основания \(ABC\) на высоте 50 см.

Точка \(M\) — середина гипотенузы \(AB\), координаты которой вычисляем как среднее арифметическое координат точек \(A\) и \(B\). Если принять \(C\) за начало координат, то \(A = (30,0,0)\), \(B = (0,40,0)\), значит \(M = \left(\frac{30+0}{2}, \frac{0+40}{2}, 0\right) = (15, 20, 0)\). Прямая \(CC_1\) — это вертикальный отрезок с координатами \(C = (0,0,0)\) и \(C_1 = (0,0,50)\). Плоскость, проходящая через прямые \(CC_1\) и \(CM\), определяется тремя точками: \(C\), \(C_1\) и \(M\).

Чтобы найти площадь сечения, нужно определить фигуру, образованную пересечением призмы с плоскостью. Плоскость проходит через точки \(C\), \(C_1\) и \(M\), а также пересекает верхнее основание призмы. Пересечение с верхним основанием даёт точку \(P\) на отрезке \(A_1 B_1\), которую находим параметрически. Отрезок \(A_1 B_1\) задаётся точками \(A_1 = (30,0,50)\) и \(B_1 = (0,40,50)\). Параметризация: \(P(t) = (30 — 30t, 40t, 50)\). Подставляя координаты в уравнение плоскости, получаем \(t = \frac{1}{2}\), значит \(P = (15, 20, 50)\).

Сечение призмы — четырёхугольник \(C M P C_1\). Чтобы найти его площадь, разбиваем на два треугольника: \(C M P\) и \(C P C_1\). Для треугольника \(C M P\) используем векторы \(\vec{CM} = (15, 20, 0)\) и \(\vec{CP} = (15, 20, 50)\). Векторное произведение \(\vec{CM} \times \vec{CP} = (1000, -750, 0)\) имеет длину \(\sqrt{1000^{2} + (-750)^{2}} = 1250\). Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения, то есть \(\frac{1}{2} \times 1250 = 625\) см².

Для треугольника \(C P C_1\) берём векторы \(\vec{CP} = (15, 20, 50)\) и \(\vec{CC_1} = (0, 0, 50)\). Их векторное произведение совпадает с предыдущим: \(\vec{CP} \times \vec{CC_1} = (1000, -750, 0)\), длина которого равна 1250. Площадь этого треугольника тоже равна \(\frac{1}{2} \times 1250 = 625\) см². Суммируя обе площади, получаем площадь сечения призмы: \(625 + 625 = 1250\) см².