ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Каждое ребро правильной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) равно \(a\). Найдите: 1) площадь сечения призмы, проходящего через точки \(A\), \(B\) и \(C_1\); 2) угол между плоскостью данного сечения и плоскостью основания призмы.

Площадь треугольника \(ABC_1\) равна половине произведения основания \(AB = a\) на высоту \(C_1M = \frac{a \sqrt{7}}{2}\), то есть \(S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a \sqrt{7}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{7}}{4}\).

Угол между плоскостью сечения и основанием определяется как \(\sin \angle C_1MC = \frac{CC_1}{MC} = \frac{2 \sqrt{7}/7}{1} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}\), отсюда \(\angle C_1MC = \arcsin \frac{2 \sqrt{7}}{7}\).

Рассмотрим треугольник \(ABC_1\), где \(AB = a\) — сторона основания правильной треугольной призмы, а \(C_1\) — вершина верхнего основания, соответствующая вершине \(C\) нижнего основания. Основание \(ABC\) — правильный равносторонний треугольник со стороной \(a\), у которого высота равна \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\). Поскольку призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основанию, и длина бокового ребра равна \(a\).

Для нахождения площади сечения \(ABC_1\) нужно вычислить площадь треугольника с вершинами \(A\), \(B\) и \(C_1\). Основание этого треугольника — отрезок \(AB\), длина которого равна \(a\). Высота треугольника, опущенная из вершины \(C_1\) на сторону \(AB\), обозначим как \(C_1M\). Из геометрических построений и анализа координат точек следует, что \(C_1M = \frac{a \sqrt{7}}{2}\). Тогда площадь треугольника вычисляется по формуле \(S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \times AB \times C_1M = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a \sqrt{7}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{7}}{4}\).

Чтобы найти угол между плоскостью сечения \(ABC_1\) и плоскостью основания \(ABC\), рассмотрим перпендикуляр из точки \(C_1\) на плоскость основания, который совпадает с ребром \(CC_1\) длиной \(a\). Точку \(M\) на стороне \(AB\) берем как основание высоты сечения. Угол между плоскостями равен углу между векторами нормалей этих плоскостей, что эквивалентно углу между ребром \(CC_1\) и высотой \(MC\) в треугольнике \(C_1MC\). Из вычислений следует, что \(\sin \angle C_1MC = \frac{CC_1}{MC} = \frac{2 \sqrt{7}/7}{1} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}\). Следовательно, угол между плоскостями равен \(\arcsin \frac{2 \sqrt{7}}{7}\).