ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольный треугольник \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)) является основанием прямой призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\). Плоскость, проходящая через прямую \(AC\), образует с плоскостью основания призмы угол \(\beta\) и пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(D\). Найдите площадь образовавшегося сечения, если \(\angle BAC = \alpha\), \(BD = a\).

Пусть \(BD = a\). Так как плоскость проходит через \(AC\) и точку \(D\) на ребре \(BB_1\), сечение — треугольник \(ADC\).

В основании \(ABC\) прямоугольный треугольник с углом \(C = 90^\circ\) и \(\angle BAC = \alpha\).

Высота призмы равна \(BD = a\), угол между плоскостью сечения и основанием призмы равен \(\beta\).

Длина \(AC = a \cot \beta\).

Длина \(DC = a \cot \beta \cot \alpha\).

Площадь сечения равна

\(S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot a \cot \beta \cdot a \cot \beta \cot \alpha = \frac{a^2 \cot^2 \beta \cot \alpha}{2}\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\), где \(\angle BAC = \alpha\). Через ребро \(AC\) и точку \(D\) на ребре \(BB_1\) проходит плоскость, образующая с плоскостью основания угол \(\beta\). Ребро \(BB_1\) перпендикулярно основанию, а длина от \(B\) до \(D\) равна \(a\). Нам нужно найти площадь сечения, образованного этой плоскостью.

Поскольку плоскость проходит через \(AC\) и точку \(D\), сечение представляет собой треугольник \(ADC\). Высота призмы равна \(a\), а угол наклона плоскости к основанию равен \(\beta\). Из геометрии треугольника и свойства углов следует, что длина отрезка \(AC\) равна \(a \cot \beta\), так как \(AC\) лежит в основании и связано с высотой и углом наклона плоскости. Затем, используя угол \(\alpha\) в треугольнике \(ABC\), можно выразить длину отрезка \(DC\) через \(a\), \(\beta\) и \(\alpha\) как \(DC = a \cot \beta \cot \alpha\).

Площадь треугольника \(ADC\) вычисляется по формуле половины произведения основания на высоту. Здесь основанием можно взять \(AC\), высотой — \(DC\). Тогда площадь равна \(S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC\). Подставляя найденные значения, получаем \(S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot a \cot \beta \cdot a \cot \beta \cot \alpha = \frac{a^{2} \cot^{2} \beta \cot \alpha}{2}\). Эта формула выражает площадь сечения через известные параметры: длину отрезка \(BD = a\), угол наклона плоскости \(\beta\) и угол при вершине \(A\) треугольника основания \(\alpha\).