ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является ромб с острым углом \(\alpha\), большая диагональ ромба равна \(d\). Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания провели плоскость, образующую с плоскостью нижнего основания призмы угол \(\beta\). Найдите:

1) высоту призмы;

2) площадь образовавшегося сечения призмы.

Высота призмы \(CC_1\) равна половине диагонали, умноженной на тангенс угла \(\beta\):
\(CC_1 = \frac{1}{2} d \tan \beta\).

Площадь сечения равна половине произведения диагонали основания на отрезок высоты, выраженную через угол \(\beta\):
\(S_{BCD_1P} = \frac{d^2 \tan \frac{\alpha}{2}}{4 \cos \beta}\).

Высота призмы \(CC_1\) определяется через угол \(\beta\), который образует плоскость сечения с плоскостью основания. Поскольку сечение проходит через меньшую диагональ основания и вершину верхнего основания, высота связана с длиной диагонали и углом наклона плоскости. В основании ромба диагонали пересекаются под прямым углом, а большая диагональ равна \(d\). Высота призмы равна половине длины большой диагонали, умноженной на тангенс угла \(\beta\), то есть \(CC_1 = \frac{1}{2} d \tan \beta\).

Площадь сечения \(S_{BCD_1P}\) можно найти, рассматривая фигуру, образованную пересечением плоскости с призматическим телом. Плоскость сечения проходит через меньшую диагональ основания и вершину верхнего основания, что приводит к образованию четырехугольника. Площадь этого четырехугольника равна половине произведения диагоналей, где одна диагональ равна \(d\), а другая связана с высотой призмы и углом \(\beta\). С учетом угла \(\alpha\) ромба и угла \(\beta\) сечения площадь выражается формулой \(S_{BCD_1P} = \frac{d^2 \tan \frac{\alpha}{2}}{4 \cos \beta}\).

Таким образом, высота призмы и площадь сечения связаны с параметрами основания и углами наклона плоскости сечения. Высота зависит от длины диагонали и угла \(\beta\), а площадь сечения учитывает геометрию ромба через угол \(\alpha\) и угол \(\beta\), что позволяет получить точные значения этих величин в призме.