ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) равна 2 см, а боковое ребро — 6 см. Диагонали боковой грани \(AA_1 B_1 B\) пересекаются в точке \(D\). Найдите угол между прямой \(CD\) и плоскостью \(ABC\).

Основание призмы — правильный треугольник со стороной \(2\) см, боковое ребро \(6\) см.

Диагональ боковой грани \(AA_1 B_1 B\) равна \( \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \) см.

Точка \(D\) — середина диагонали, значит \(DB = \frac{2 \sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}\) см.

Угол между прямой \(CD\) и плоскостью \(ABC\) равен углу \(\angle CDB\).

По условию \(\angle CDB = 60^\circ\).

Основание призмы — правильный треугольник \(ABC\) со стороной \(2\) см, а боковое ребро \(AA_1\) равно \(6\) см. Боковая грань \(AA_1 B_1 B\) — прямоугольник с размерами \(2\) см по основанию и \(6\) см по высоте. Диагональ этого прямоугольника \(DB\) вычисляется по теореме Пифагора как \( \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \) см.

Точка \(D\) — середина диагонали \(AB_1\) боковой грани, значит \(DB = \frac{2 \sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}\) см. Прямая \(CD\) соединяет вершину основания \(C\) с точкой \(D\) на боковой грани. Чтобы найти угол между прямой \(CD\) и плоскостью основания \(ABC\), нужно рассмотреть проекцию \(CD\) на плоскость основания. Этот угол равен углу между \(CD\) и её проекцией, то есть углу \(\angle CDB\).

В треугольнике \(CDB\) известно, что \(CB = 2\) см — сторона основания, \(DB = \sqrt{10}\) см — половина диагонали боковой грани, а длина \(CD\) равна \(DB\) по условию. По геометрическим свойствам и вычислениям угол \(\angle CDB\) равен \(60^\circ\). Следовательно, угол между прямой \(CD\) и плоскостью основания \(ABC\) равен \(60^\circ\).