ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной призмы \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) равна 1 см, а боковое ребро — 15 см. Диагонали боковой грани \(CC_1 D_1 D\) пересекаются в точке \(M\). Найдите угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(ABC\).

Пусть \(M\) — точка пересечения диагоналей боковой грани \(CC_1D_1D\). Тогда \(M\) — середина диагоналей.

Длина диагонали боковой грани \(PD = \frac{\sqrt{5}}{2}\).

Вектор \(AM = \frac{1}{2} PD = \frac{\sqrt{5}}{2}\).

В треугольнике \(AMK\) по теореме Пифагора \(AM^2 = AD^2 + DK^2\).

Так как \(AM = DM\), треугольник равнобедренный, значит угол при вершине \(M\) равен \(45^\circ\).

Ответ: угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(ABC\) равен \(45^\circ\).

Точка \(M\) является точкой пересечения диагоналей боковой грани \(CC_1D_1D\), поэтому она делит каждую диагональ пополам. Это означает, что \(M\) — середина диагонали \(PD\), где \(P\) и \(D\) — вершины боковой грани. Длина диагонали \(PD\) равна \( \frac{\sqrt{5}}{2} \), что получается из теоремы Пифагора, учитывая размеры призмы и её основания.

Вектор \(AM\) выражается как половина диагонали \(PD\), то есть \(AM = \frac{1}{2} PD = \frac{\sqrt{5}}{2}\). Это ключевой момент, так как длина отрезка \(AM\) позволяет понять соотношение между сторонами треугольника, образованного точками \(A\), \(M\) и проекцией \(K\) точки \(M\) на плоскость основания. В треугольнике \(AMK\) по теореме Пифагора выполняется равенство \(AM^2 = AD^2 + DK^2\), где \(AD\) и \(DK\) — катеты, а \(AM\) — гипотенуза.

Поскольку \(AM = DM\), треугольник \(AMD\) является равнобедренным, что значит углы при основании равны. Это приводит к тому, что угол между прямой \(AM\) и плоскостью основания \(ABC\) равен \(45^\circ\). Таким образом, угол между прямой и плоскостью определяется равенством углов в равнобедренном треугольнике, что и подтверждается вычислениями.