ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной призмы равна \(S\). Чему равна площадь боковой поверхности призмы?

Пусть \(S\) — площадь диагонального сечения. Тогда \(S = \frac{1}{2} BD \cdot BB_1\), где \(BD\) — диагональ основания, \(BB_1\) — высота призмы.

Диагональ основания \(BD = a \sqrt{2}\), где \(a\) — сторона основания.

Площадь боковой поверхности равна \(S_{\text{бок}} = 4a \cdot BB_1\).

Из первого уравнения выразим \(BB_1 = \frac{2S}{BD} = \frac{2S}{a \sqrt{2}} = \frac{S \sqrt{2}}{a}\).

Подставим в формулу площади боковой поверхности: \(S_{\text{бок}} = 2a \cdot \frac{S \sqrt{2}}{a} = 2S \sqrt{2}\).

Пусть у нас есть правильная четырёхугольная призма с основанием в виде квадрата со стороной \(a\). Диагональное сечение призмы проходит через диагональ основания \(BD\) и высоту призмы \(BB_1\). Площадь этого диагонального сечения обозначим за \(S\). По условию известно, что площадь диагонального сечения равна \(S\), и нам нужно найти площадь боковой поверхности призмы.

Диагональ квадрата основания равна \(BD = a \sqrt{2}\), так как диагональ квадрата вычисляется по формуле \(a \sqrt{2}\), где \(a\) — длина стороны квадрата. Площадь диагонального сечения — это площадь треугольника, образованного диагональю основания и высотой призмы, то есть \(S = \frac{1}{2} BD \cdot BB_1\), где \(BB_1\) — высота призмы. Из этой формулы можно выразить высоту призмы: \(BB_1 = \frac{2S}{BD} = \frac{2S}{a \sqrt{2}} = \frac{S \sqrt{2}}{a}\).

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту призмы. Поскольку основание — квадрат со стороной \(a\), его периметр равен \(4a\). Таким образом, площадь боковой поверхности равна \(S_{\text{бок}} = 4a \cdot BB_1\). Подставляя выражение для \(BB_1\), получаем \(S_{\text{бок}} = 2a \cdot \frac{S \sqrt{2}}{a} = 2S \sqrt{2}\).