ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 5 см, а диагональ боковой грани — 4 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Диагональ призмы \(BD_1 = 5\) и диагональ боковой грани \(CD = 4\). Пусть \(a\) — сторона основания, \(h\) — высота призмы.

Из диагонали боковой грани: \(CD^2 = h^2 + a^2 = 16\).

Диагональ основания квадрата: \(BD = a \sqrt{2}\).

Из диагонали призмы: \(BD_1^2 = BD^2 + h^2 = 25\).

Подставляем \(BD^2 = 2a^2\) и \(h^2 = 16 — a^2\):

\(25 = 2a^2 + 16 — a^2 = a^2 + 16\), откуда \(a^2 = 9\), \(a = 3\).

Тогда \(h^2 = 16 — 9 = 7\), \(h = \sqrt{7}\).

Площадь полной поверхности:

\(S = 2a^2 + 4a h = 2 \cdot 9 + 4 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} = 18 + 12 \sqrt{7}\).

Дана правильная четырёхугольная призма, у которой диагональ призмы \(BD_1 = 5\) см и диагональ боковой грани \(CD = 4\) см. Обозначим сторону основания через \(a\), а высоту призмы через \(h\). Основание — квадрат, значит диагональ основания равна \(BD = a \sqrt{2}\), так как диагональ квадрата вычисляется по формуле \(a \sqrt{2}\).

Диагональ боковой грани — это диагональ прямоугольника с высотой \(h\) и стороной основания \(a\). По теореме Пифагора для боковой грани имеем \(CD^2 = h^2 + a^2\). Подставляя известное значение, получаем \(16 = h^2 + a^2\). Это первое уравнение, связывающее высоту и сторону основания.

Диагональ призмы \(BD_1\) — это диагональ прямоугольного параллелепипеда, где одной из сторон является диагональ основания \(BD\), а другой — высота \(h\). По теореме Пифагора для призмы: \(BD_1^2 = BD^2 + h^2\). Подставляем \(BD_1 = 5\) и \(BD = a \sqrt{2}\), получаем \(25 = 2a^2 + h^2\). Теперь подставим \(h^2\) из первого уравнения: \(h^2 = 16 — a^2\). Получается \(25 = 2a^2 + 16 — a^2\), откуда \(a^2 = 9\), значит \(a = 3\) см.

Подставим \(a^2 = 9\) в уравнение для \(h^2\), получим \(h^2 = 16 — 9 = 7\), следовательно, \(h = \sqrt{7}\) см. Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности. Площадь основания — квадрат со стороной \(a\), значит \(S_{\text{осн}} = a^2 = 9\). Периметр основания равен \(4a = 12\). Площадь боковой поверхности — это периметр основания, умноженный на высоту: \(S_{\text{бок}} = 12 \cdot \sqrt{7}\).

Итоговая площадь полной поверхности равна \(S = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 9 + 12 \sqrt{7} = 18 + 12 \sqrt{7}\) см².