ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна 10 см, а площадь боковой поверхности — 288 см². Найдите сторону основания и высоту призмы.

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна \(6 \cdot AB \cdot h = 288\), откуда \(AB \cdot h = 48\).

По теореме Пифагора для треугольника с катетами \(AB\) и \(h\) и гипотенузой 10: \(AB^2 + h^2 = 100\).

Подставляем \(AB = \frac{48}{h}\): \(\left(\frac{48}{h}\right)^2 + h^2 = 100\).

Умножаем на \(h^2\): \(2304 + h^4 = 100 h^2\).

Получаем уравнение: \(h^4 — 100 h^2 + 2304 = 0\).

Обозначаем \(x = h^2\), тогда \(x^2 — 100 x + 2304 = 0\).

Дискриминант \(D = 10000 — 9216 = 784\).

Корни: \(x_1 = \frac{100 + 28}{2} = 64\), \(x_2 = \frac{100 — 28}{2} = 36\).

Значит, \(h = 8\) или \(h = 6\).

Для \(h = 6\), \(AB = \frac{48}{6} = 8\).

Ответ: \(AB = 8\), \(h = 6\).

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Поскольку основание — правильный шестиугольник, его периметр равен \(6 \cdot AB\), где \(AB\) — длина стороны основания. Обозначим высоту призмы через \(h\). Тогда площадь боковой поверхности можно записать как \(S_{бок} = 6 \cdot AB \cdot h\). Из условия известно, что \(S_{бок} = 288\), следовательно, уравнение принимает вид \(6 \cdot AB \cdot h = 288\), откуда следует, что произведение \(AB \cdot h = \frac{288}{6} = 48\).

Далее рассмотрим треугольник, образованный стороной основания \(AB\), высотой призмы \(h\) и диагональю боковой грани \(BB_1\), которая равна 10. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами \(AB\) и \(h\) и гипотенузой \(BB_1\) справедливо равенство \(AB^2 + h^2 = 10^2 = 100\). Это уравнение связывает стороны основания и высоту призмы с известной диагональю боковой грани.

Подставим выражение \(AB = \frac{48}{h}\), полученное из уравнения площади боковой поверхности, в уравнение Пифагора. Тогда получаем \(\left(\frac{48}{h}\right)^2 + h^2 = 100\). Преобразуем выражение: \(\frac{2304}{h^2} + h^2 = 100\). Умножим обе части уравнения на \(h^2\), чтобы избавиться от знаменателя: \(2304 + h^4 = 100 h^2\). Перепишем уравнение в виде \(h^4 — 100 h^2 + 2304 = 0\). Введём замену \(x = h^2\), тогда уравнение принимает вид \(x^2 — 100 x + 2304 = 0\). Найдём дискриминант: \(D = 100^2 — 4 \cdot 2304 = 10000 — 9216 = 784\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{100 + 28}{2} = 64\), \(x_2 = \frac{100 — 28}{2} = 36\). Значит, \(h = \sqrt{64} = 8\) или \(h = \sqrt{36} = 6\). Подставляя эти значения обратно в уравнение \(AB \cdot h = 48\), получаем \(AB = \frac{48}{8} = 6\) или \(AB = \frac{48}{6} = 8\). Проверяя с условием, выбираем \(AB = 8\), \(h = 6\).

Ответ: \(AB = 8\), \(h = 6\).