ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости граней \(AA_1 B_1 B\) и \(AA_1 C_1 C\) наклонной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) перпендикулярны, \(AA_1 = 9\) см. Расстояние между прямыми \(AA_1\) и \(BB_1\) равно 8 см, а между прямыми \(AA_1\) и \(CC_1\) — 15 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Длина ребра \(BC\) находится по теореме Пифагора: \(BC = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = 17\) см.

Периметр основания равен сумме сторон: \(8 + 15 + 17 = 40\) см.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы: \(S = 40 \times 9 = 360\) см\(^2\).

Ответ: 360 см\(^2\).

Длина ребра \(BC\) в основании призмы определяется как расстояние между точками \(B\) и \(C\). Поскольку плоскости граней \(AA_1B_1B\) и \(AA_1C_1C\) перпендикулярны, расстояния между прямыми \(AA_1\) и \(BB_1\), а также между \(AA_1\) и \(CC_1\) представляют собой катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой \(BC\). Значения этих катетов равны 8 см и 15 см соответственно. Поэтому по теореме Пифагора длина ребра \(BC\) вычисляется как \(BC = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\) см.

Периметр основания призмы — это сумма длин всех её сторон: \(AB\), \(BC\) и \(CA\). Из условия известно, что расстояния между параллельными ребрами \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) равны 8 см и 15 см, что соответствует длинам \(AB = 8\) см и \(CA = 15\) см. В результате периметр основания равен \(P = AB + BC + CA = 8 + 17 + 15 = 40\) см.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, то есть длину ребра \(AA_1\). Высота \(AA_1\) дана и равна 9 см. Следовательно, площадь боковой поверхности вычисляется по формуле \(S = P \times AA_1 = 40 \times 9 = 360\) см\(^2\). Это и есть искомое значение площади боковой поверхности призмы.