ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь основания правильной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) равна \(S\). Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S_1\). Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть \( S \) — площадь основания призмы, \( S_1 \) — площадь треугольника \( ABC_1 \).

Высота призмы \( h \) находится из разности площадей: \( h = \sqrt{S_1^2 — S^2} \).

Периметр основания равен \( 6 \) (так как правильная призма с равными сторонами).

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра на высоту:

\( S_{\text{бок}} = 6 \cdot \sqrt{S_1^2 — S^2} \).

Пусть \( S \) — площадь основания правильной призмы, а \( S_1 \) — площадь треугольника \( ABC_1 \), который является вертикальным сечением призмы. Площадь основания \( S \) связана с длиной стороны основания, а площадь треугольника \( ABC_1 \) учитывает высоту призмы, так как вершина \( C_1 \) находится на верхнем основании. Для нахождения площади боковой поверхности призмы нам нужно определить высоту призмы через эти площади.

Высоту призмы \( h \) можно выразить через площади \( S_1 \) и \( S \). Если представить треугольник \( ABC_1 \) как прямоугольный треугольник с одним катетом, равным высоте призмы, то по теореме Пифагора выполняется равенство \( h = \sqrt{S_1^2 — S^2} \). Это связано с тем, что площадь треугольника \( ABC_1 \) больше площади основания за счёт добавленной высоты, и разница в площадях позволяет найти величину этой высоты.

Периметр основания правильной призмы равен шести сторонам основания, то есть \( 6 \). Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, то есть \( S_{\text{бок}} = 6 \cdot h \). Подставляя выражение для высоты, получаем окончательную формулу: \( S_{\text{бок}} = 6 \cdot \sqrt{S_1^2 — S^2} \), которая позволяет вычислить площадь боковой поверхности через площади основания и вертикального сечения.