ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильной призме \(ABC A_1 B_1 C_1\) площадь треугольника \(ABC\) равна \(S\). Плоскость \(ABC_1\) образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть \(S\) — площадь основания, \(\alpha\) — угол между плоскостью \(ABC_1\) и основанием.

Высота призмы равна \(h = \sin \alpha\).

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту.

Периметр основания равен \(6 \cdot \sqrt{S}\) (учитывая, что площадь \(S\) и основание правильный шестиугольник).

Тогда площадь боковой поверхности

\(S_{\text{бок}} = 6 S \sin \alpha\).

Пусть \(S\) — площадь основания правильной шестиугольной призмы, а \(\alpha\) — угол между плоскостью \(ABC_1\) и основанием призмы. Для нахождения площади боковой поверхности нужно сначала понять, как связаны стороны и высота призмы с этим углом.

Основание призмы — правильный шестиугольник, у которого периметр равен \(6d\), где \(d\) — длина ребра основания. Площадь основания \(S\) связана с длиной ребра формулой \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2} d^{2}\). Из этой формулы можно выразить длину ребра через площадь: \(d = \sqrt{\frac{2S}{3\sqrt{3}}}\). Высота призмы равна расстоянию между основаниями, которое можно выразить через угол \(\alpha\) как \(h = d \sin \alpha\), так как боковая грань образует угол \(\alpha\) с основанием.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы, то есть \(S_{\text{бок}} = 6d \cdot h = 6d \cdot d \sin \alpha = 6 d^{2} \sin \alpha\). Подставляя выражение для \(d^{2}\) из площади основания, получаем \(S_{\text{бок}} = 6 \cdot \frac{2S}{3\sqrt{3}} \sin \alpha = 6S \sin \alpha\). Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна \(6S \sin \alpha\).