ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота правильной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) равна 6 см. Точки \(D\) и \(E\) — середины рёбер \(A_1 C_1\) и \(B_1 C_1\) соответственно. Плоскость, которая проходит через прямые \(AB\) и \(DE\), образует угол 60° с плоскостью \(ABC\). Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью.

Длина \(AB = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3}\) см.

Длина \(DE = 2 \sqrt{3}\) см (средняя линия треугольника).
Площадь сечения \(S = \frac{DE + AB}{2} \cdot EK = \frac{2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 24 \sqrt{3}\) см².

В правильной треугольной призме сторона основания \(AB\) равна длине стороны треугольника. Поскольку угол между плоскостью сечения и основанием равен \(60^\circ\), длину стороны \(AB\) можно выразить через высоту призмы и угол наклона. По условию высота призмы равна \(8\) см, а длина стороны основания вычисляется как \(AB = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3}\) см. Это связано с тем, что в правильном треугольнике высота связана со стороной через отношение \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\).

Точки \(D\) и \(E\) являются серединами рёбер \(A_1 C_1\) и \(B_1 C_1\) соответственно, следовательно, отрезок \(DE\) — это средняя линия треугольника \(A_1 B_1 C_1\). Средняя линия равна половине основания, поэтому \(DE = \frac{1}{2} AB = 2 \sqrt{3}\) см. Этот факт важен для определения формы и размеров сечения, так как сечение проходит через прямые \(AB\) и \(DE\).

Площадь сечения призмы можно найти как площадь трапеции с основаниями \(AB\) и \(DE\) и высотой, равной высоте призмы \(EK = 8\) см. Формула площади трапеции: \(S = \frac{(AB + DE)}{2} \cdot EK\). Подставляя значения, получаем \(S = \frac{4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{2} \cdot 8 = \frac{6 \sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 3 \sqrt{3} \cdot 8 = 24 \sqrt{3}\) см². Это и есть площадь сечения, совпадающая с ответом на фото.