ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна \(\frac{4}{\sqrt{2}}\) см, а высота призмы — 6 см. Через диагональ основания проведено сечение призмы, параллельное диагонали призмы. Найдите площадь сечения.

Диагональ основания \( BD = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) см.

Диагональ призмы \( B_1D = \sqrt{6^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 + 32} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \) см.

Половина диагонали призмы \( KO = \frac{B_1D}{2} = \sqrt{17} \) см.

Площадь сечения \( S = \frac{1}{2} \times AC \times KO = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \) см².

Основание призмы — квадрат со стороной 4 см, поэтому его диагональ \( BD \) вычисляется по формуле для диагонали квадрата: \( BD = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) см. Это расстояние между противоположными вершинами основания. Диагональ основания важна, так как сечение проходит через неё.

Высота призмы равна 6 см, она перпендикулярна основанию. Диагональ призмы \( B_1D \) соединяет вершину верхнего основания \( B_1 \) и противоположную вершину нижнего основания \( D \). Чтобы найти длину диагонали призмы, применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику с катетами высоты и диагонали основания: \( B_1D = \sqrt{6^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 + 32} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \) см. Это расстояние по пространству между двумя противоположными вершинами призмы.

Половина диагонали призмы \( KO = \frac{B_1D}{2} = \sqrt{17} \) см используется для нахождения площади сечения. Сечение — это треугольник с основанием равным диагонали основания \( AC = 8 \) см и высотой, равной половине диагонали призмы. Площадь сечения вычисляется по формуле площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \times AC \times KO = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \) см². Таким образом, площадь искомого сечения равна 20 квадратных сантиметров.