ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что в любой призме количество вершин является чётным числом, а количество рёбер — числом, кратным 3.

Пусть есть \( n \)-угольная призма.

Так как призма получается параллельным переносом \( n \)-угольника и соединением вершин, количество вершин равно \( 2n \), что является чётным числом.

Число рёбер равно сумме рёбер двух оснований и боковых рёбер, то есть \( 3n \), что кратно 3.

Пусть дана призма с основанием в виде многоугольника с \( n \) вершинами. Призма образуется путем параллельного переноса этого многоугольника в пространстве и соединения соответствующих вершин двух многоугольников ребрами. Таким образом, у призмы есть два основания, каждое из которых содержит ровно \( n \) вершин. Поскольку вершины каждого основания не совпадают, общее количество вершин призмы равно сумме вершин двух оснований, то есть \( 2n \). Поскольку число \( 2n \) всегда чётное, количество вершин призмы является чётным числом.

Рассмотрим теперь количество рёбер призмы. В каждом основании многоугольника ровно \( n \) рёбер, так как многоугольник состоит из \( n \) сторон. Поскольку у призмы два основания, суммарное количество рёбер оснований равно \( 2n \). Кроме того, призма имеет боковые рёбра, которые соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. Таких боковых рёбер ровно \( n \), по одному на каждую пару вершин. Следовательно, общее количество рёбер призмы равно сумме рёбер оснований и боковых рёбер, то есть \( 2n + n = 3n \).

Поскольку \( n \) — натуральное число, результат \( 3n \) всегда кратен трём. Это доказывает, что количество рёбер призмы кратно 3. Таким образом, мы получили, что количество вершин призмы равно \( 2n \), что является чётным числом, а количество рёбер равно \( 3n \), что кратно 3. Данное утверждение справедливо для любой призмы с \( n \)-угольным основанием.