ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Каждое ребро наклонной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) равно \(a\). Ребро \(AA_1\) образует с каждым из рёбер \(AB\) и \(AC\) угол, равный \(45^\circ\).

1) Докажите, что \(AA_1 \perp BC\).

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ребро \(AA_1\) образует с \(AB\) и \(AC\) углы по \(45^\circ\), значит угол между \(AA_1\) и \(BC\) равен \(90^\circ\), то есть \(AA_1 \perp BC\).

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней: \(S_{\text{бок}} = a^2 + a^2 \sqrt{2}\).

Ребро \(AA_1\) наклонной призмы образует углы по \(45^\circ\) с рёбрами \(AB\) и \(AC\), которые лежат в основании. Это означает, что вектор, направленный вдоль \(AA_1\), одинаково отклонён от векторов \(AB\) и \(AC\). Поскольку угол между \(AB\) и \(AC\) в основании равен \(60^\circ\) (треугольник равносторонний с рёбрами длины \(a\)), угол между \(AA_1\) и вектором \(BC\), который равен разности векторов \(AC\) и \(AB\), будет равен \(90^\circ\). Следовательно, \(AA_1\) перпендикулярно \(BC\).

Для нахождения площади боковой поверхности призмы нужно сложить площади трёх боковых граней. Каждая боковая грань — параллелограмм с одной стороной \(a\) (рёбра \(AB\), \(BC\), \(CA\)) и другой стороной \(a\) (рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\)), но угол между сторонами различен. Для граней с рёбрами \(AB\) и \(AA_1\), а также \(AC\) и \(AA_1\), угол равен \(45^\circ\), а для грани с ребром \(BC\) и \(AA_1\) угол \(90^\circ\).

Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними. Для граней с углом \(45^\circ\) площадь равна \(a^2 \sin 45^\circ = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2}\). Для грани с углом \(90^\circ\) площадь равна \(a^2 \sin 90^\circ = a^2\). Суммируя, получаем площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок}} = a^2 + 2 \times a^2 \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2 + a^2 \sqrt{2}\).