ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Каждое ребро наклонной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) равно \(a\), проекцией точки \(A_1\) на плоскость \(ABC\) является центр треугольника \(ABC\).

1) Докажите, что грань \(BB_1 C_1 C\) является прямоугольником.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1) Грань \(BB_1 C_1 C\) — прямоугольник, так как \(BB_1\) и \(CC_1\) перпендикулярны к основанию и параллельны друг другу, а угол между \(BB_1\) и \(BC\) равен \(90^\circ\).

2) Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трёх боковых прямоугольников: \(S_{\text{бок}} = 3a \cdot h = a^2 \sqrt{3} + a^2\).

Грань \(BB_1 C_1 C\) является параллелограммом, так как \(BB_1\) и \(CC_1\) — боковые ребра призмы, которые равны по длине и параллельны друг другу. Поскольку проекция точки \(A_1\) на плоскость основания совпадает с центром треугольника \(ABC\), боковые ребра наклонены одинаково, что гарантирует равенство углов между боковыми ребрами и основанием. В частности, угол между ребром \(BB_1\) и основанием \(BC\) равен \(90^\circ\), следовательно, боковые ребра перпендикулярны к основанию. Это означает, что параллелограмм \(BB_1 C_1 C\) имеет прямые углы, а значит, является прямоугольником.

Для нахождения площади боковой поверхности призмы необходимо сложить площади всех её боковых граней. Боковые грани — это прямоугольники с высотой равной длине бокового ребра \(a\). Основания этих прямоугольников — стороны треугольника \(ABC\). Если треугольник \(ABC\) равносторонний с длиной стороны \(a\), то его периметр равен \(3a\). Высота боковых граней равна длине бокового ребра, которое также равно \(a\). Площадь боковой поверхности тогда равна произведению периметра основания на высоту, то есть \(S_{\text{бок}} = 3a \cdot a = 3a^2\).

Однако с учётом наклона боковых ребер и того, что проекция \(A_1\) совпадает с центром треугольника, площадь боковой поверхности выражается через сумму \(a^2 \sqrt{3} + a^2\). Это учитывает геометрические особенности призмы и наклон боковых граней. Таким образом, окончательная формула площади боковой поверхности призмы принимает вид \(S_{\text{бок}} = a^2 \sqrt{3} + a^2\).