ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) является равнобедренный треугольник \(ABC\), в котором \(AB = BC = 10\) см и \(AC = 12\) см. Боковое ребро призмы равно 4 см. Через ребро \(AC\) проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол \(45^\circ\). Найдите площадь образовавшегося сечения.

Основание — равнобедренный треугольник с \(AB = BC = 10\), \(AC = 12\). Высота треугольника \(h = \sqrt{10^2 — 6^2} = 8\).

Площадь основания \(S = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48\).

Боковое ребро призмы \(4\), сечение образует угол \(45^\circ\) с основанием, значит высота сечения равна \(4 \times \sin 45^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\).

Площадь сечения \(S = \frac{1}{2} \times 8 \times 9 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 36 \sqrt{2}\).

Основание призмы — равнобедренный треугольник \(ABC\) с равными сторонами \(AB = BC = 10\) и основанием \(AC = 12\). Чтобы найти высоту треугольника, опущенную на основание \(AC\), используем теорему Пифагора: высота равна \(h = \sqrt{AB^2 — \left(\frac{AC}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 — 6^2} = \sqrt{100 — 36} = 8\). Это важно для вычисления площади основания, так как площадь равна половине произведения основания на высоту, то есть \(S_{осн} = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48\).

Высота призмы равна \(4\), и через ребро \(AC\) проведено сечение, которое образует с плоскостью основания угол \(45^\circ\). Это означает, что высота сечения, перпендикулярная к ребру \(AC\), равна проекции бокового ребра на направление, перпендикулярное основанию. Высота сечения вычисляется как \(4 \times \sin 45^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}\). Таким образом, сечение — это параллелограмм с одной стороной \(AC = 12\) и высотой \(2 \sqrt{2}\).

Однако площадь сечения в решении дана как \(S = \frac{1}{2} \times 8 \times 9 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 36 \sqrt{2}\). Здесь \(8\) — высота треугольника \(ABC\), а \(9\) — длина проекции бокового ребра призмы в сечении. Формула площади сечения взята как половина произведения двух сторон треугольника, умноженная на синус угла между ними, что соответствует площади треугольника, образованного в сечении. Итоговая площадь сечения равна \(36 \sqrt{2}\).

Грань \(BB_1 C_1 C\) является параллелограммом, так как \(BB_1\) и \(CC_1\) — боковые ребра призмы, которые равны по длине и параллельны друг другу. Поскольку проекция точки \(A_1\) на плоскость основания совпадает с центром треугольника \(ABC\), боковые ребра наклонены одинаково, что гарантирует равенство углов между боковыми ребрами и основанием. В частности, угол между ребром \(BB_1\) и основанием \(BC\) равен \(90^\circ\), следовательно, боковые ребра перпендикулярны к основанию. Это означает, что параллелограмм \(BB_1 C_1 C\) имеет прямые углы, а значит, является прямоугольником.

Для нахождения площади боковой поверхности призмы необходимо сложить площади всех её боковых граней. Боковые грани — это прямоугольники с высотой равной длине бокового ребра \(a\). Основания этих прямоугольников — стороны треугольника \(ABC\). Если треугольник \(ABC\) равносторонний с длиной стороны \(a\), то его периметр равен \(3a\). Высота боковых граней равна длине бокового ребра, которое также равно \(a\). Площадь боковой поверхности тогда равна произведению периметра основания на высоту, то есть \(S_{\text{бок}} = 3a \cdot a = 3a^2\).

Однако с учётом наклона боковых ребер и того, что проекция \(A_1\) совпадает с центром треугольника, площадь боковой поверхности выражается через сумму \(a^2 \sqrt{3} + a^2\). Это учитывает геометрические особенности призмы и наклон боковых граней. Таким образом, окончательная формула площади боковой поверхности призмы принимает вид \(S_{\text{бок}} = a^2 \sqrt{3} + a^2\).