ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) равна 4 см, боковое ребро — 3 см. Через ребро \(AB\) проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол \(60^\circ\). Найдите площадь образовавшегося сечения.

Дано правильная треугольная призма со стороной основания \(4\) см и высотой \(3\) см. Через ребро \(AB\) проведено сечение, образующее с основанием угол \(60^\circ\).

Площадь сечения равна половине произведения основания \(AB\), длины отрезка на боковом ребре и синуса угла между ними: \(S = \frac{1}{2} \times AB \times BM \times \sin 60^\circ\).

Подставляя \(AB = 4\), \(BM = 3\), \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем \(S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}\) см².

Ответ: \(6 \sqrt{3}\) см².

Правильная треугольная призма имеет основание в виде равностороннего треугольника со стороной \(4\) см, а высота призмы равна \(3\) см. Через ребро \(AB\) проведено сечение, которое образует с плоскостью основания угол \(60^\circ\). Для нахождения площади этого сечения важно понять, что сечение проходит через ребро \(AB\) и некоторую точку на боковом ребре \(CC_1\), образуя треугольник \(ABM\).

Длина ребра основания \(AB\) равна \(4\) см, высота бокового ребра \(AA_1\) или \(CC_1\) равна \(3\) см. Поскольку сечение образует с основанием угол \(60^\circ\), длина отрезка \(BM\) в сечении равна высоте бокового ребра, умноженной на синус угла между сечением и основанием. Таким образом, \(BM = 3 \times \sin 60^\circ\). Значение \(\sin 60^\circ\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно, \(BM = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}\).

Площадь треугольника \(ABM\) вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} \times AB \times BM \times \sin \angle ABM\), где угол между сторонами равен \(60^\circ\). Подставляя известные значения, получаем \(S = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times \sin 60^\circ\). Так как \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), итоговая площадь равна \(S = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}\) см².