ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота правильной треугольной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) равна \(h\). Найдите площадь треугольника \(BA_1 C_1\), если \(\angle BA_1 C_1 = \alpha\).

Площадь треугольника \(BA_1C_1\) равна половине произведения сторон \(BA_1\) и \(BC_1\) на синус угла между ними \(\alpha\).

Так как \(BA_1 = BC_1 = \frac{h}{2 \sin(30^\circ + \frac{\alpha}{2})}\), то

\(S_{\triangle BA_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot BA_1 \cdot BC_1 \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{2 \sin(30^\circ + \frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{h}{2 \sin(30^\circ — \frac{\alpha}{2})} \cdot \sin \alpha\).

Упростив, получаем

\(S_{\triangle BA_1C_1} = \frac{h^2 \sin \alpha}{8 \sin(30^\circ + \frac{\alpha}{2}) \sin(30^\circ — \frac{\alpha}{2})}\).

Рассмотрим треугольник \(BA_1C_1\), который образован вершиной \(B\) основания правильной треугольной призмы и двумя вершинами верхнего основания \(A_1\) и \(C_1\). Для нахождения площади этого треугольника используем формулу площади через две стороны и угол между ними: \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \alpha\), где \(AB\) и \(AC\) — стороны, а \(\alpha\) — угол между ними. В нашем случае сторонами являются отрезки \(BA_1\) и \(BC_1\), а угол между ними задан как \(\alpha\).

Длины отрезков \(BA_1\) и \(BC_1\) связаны с высотой призмы \(h\) и углами при основании. В треугольной призме высота \(h\) — это расстояние между основаниями, а сами отрезки \(BA_1\) и \(BC_1\) не равны просто \(h\), а выражаются через \(h\) и углы \(30^\circ + \frac{\alpha}{2}\) и \(30^\circ — \frac{\alpha}{2}\). Конкретно, \(BA_1 = \frac{h}{2 \sin(30^\circ + \frac{\alpha}{2})}\) и \(BC_1 = \frac{h}{2 \sin(30^\circ — \frac{\alpha}{2})}\). Эти выражения получены из геометрических соотношений в призме, учитывая, что основание правильное и углы равномерно распределены.

Подставляя эти длины в формулу площади, получаем \(S_{\triangle BA_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{2 \sin(30^\circ + \frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{h}{2 \sin(30^\circ — \frac{\alpha}{2})} \cdot \sin \alpha\). Упрощая выражение, выделяем произведение в знаменателе и числитель: \(S_{\triangle BA_1C_1} = \frac{h^2 \sin \alpha}{8 \sin(30^\circ + \frac{\alpha}{2}) \sin(30^\circ — \frac{\alpha}{2})}\). Эта формула точно отражает зависимость площади треугольника \(BA_1C_1\) от высоты призмы и угла \(\alpha\), учитывая геометрию правильной треугольной призмы.