ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.38 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) является равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)), боковые грани призмы, содержащие рёбра \(AC\) и \(BC\), — квадраты. Найдите угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\).

Основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами \(AC = BC = a\) и прямым углом при \(C\). Высота призмы равна \(a\), так как боковые грани — квадраты.

Координаты точек: \(C(0,0,0)\), \(A(a,0,0)\), \(B(0,a,0)\), \(C_1(0,0,a)\), \(A_1(a,0,a)\), \(B_1(0,a,a)\).

Вектор \(AC_1 = (-a,0,a)\), вектор \(CB_1 = (0,a,a)\).

Скалярное произведение: \(AC_1 \cdot CB_1 = a^2\).

Длины векторов: \(|AC_1| = \sqrt{2}a\), \(|CB_1| = \sqrt{2}a\).

Косинус угла между ними: \(\cos \theta = \frac{a^2}{\sqrt{2}a \cdot \sqrt{2}a} = \frac{1}{2}\).

Угол \(\theta = 60^\circ\).

Основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами \(AC = BC = a\) и прямым углом при вершине \(C\). Это значит, что треугольник \(ABC\) имеет два равных катета и угол между ними равен \(90^\circ\). Высота призмы равна длине катета \(a\), так как боковые грани, содержащие ребра \(AC\) и \(BC\), являются квадратами. Следовательно, ребра призмы, перпендикулярные основанию, равны \(a\).

Для удобства решения задачи введём трёхмерную систему координат. Поместим точку \(C\) в начало координат \( (0, 0, 0) \). Тогда точка \(A\) будет находиться на оси \(x\) в точке \( (a, 0, 0) \), а точка \(B\) — на оси \(y\) в точке \( (0, a, 0) \). Верхние точки призмы будут соответствовать поднятию на высоту \(a\) по оси \(z\): \(C_1 = (0, 0, a)\), \(A_1 = (a, 0, a)\), \(B_1 = (0, a, a)\).

Рассмотрим векторы, задающие прямые. Вектор \(AC_1\) — это вектор из точки \(A\) в точку \(C_1\), то есть \(AC_1 = C_1 — A = (-a, 0, a)\). Вектор \(CB_1\) — из точки \(C\) в точку \(B_1\), то есть \(CB_1 = B_1 — C = (0, a, a)\). Для нахождения угла между этими векторами вычислим их скалярное произведение: \(AC_1 \cdot CB_1 = (-a) \cdot 0 + 0 \cdot a + a \cdot a = a^{2}\).

Длины векторов равны \( |AC_1| = \sqrt{(-a)^{2} + 0^{2} + a^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2}a \) и \( |CB_1| = \sqrt{0^{2} + a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2}a \). Косинус угла между векторами определяется формулой \( \cos \theta = \frac{AC_1 \cdot CB_1}{|AC_1| \cdot |CB_1|} = \frac{a^{2}}{\sqrt{2}a \cdot \sqrt{2}a} = \frac{a^{2}}{2a^{2}} = \frac{1}{2} \).

Следовательно, угол \( \theta = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ \). Это и есть искомый угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\).

Угол \(\theta = 60^\circ\).