ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(D\) и \(E\) — середины рёбер \(AC\) и \(BC\) правильной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) (рис. 19.23). Плоскость, проходящая через прямую \(DE\) и образующая с плоскостью \(ABC\) угол \(30^\circ\), пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(F\). Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если сторона её основания равна 12 см.

Точки \(D\) и \(E\) — середины сторон \(AC\) и \(BC\), значит \(DE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) см.

Плоскость сечения образует угол \(30^\circ\) с основанием, поэтому высота сечения \(CF = DE = 6\) см.

Площадь треугольника \(DEF = \frac{1}{2} \times DE \times CF = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\) см².

В правильном треугольнике \(ABC\) со стороной \(12\) см точки \(D\) и \(E\) — середины сторон \(AC\) и \(BC\) соответственно. Поскольку \(D\) и \(E\) — середины, отрезок \(DE\) параллелен стороне \(AB\) и равен половине её длины. Следовательно, \(DE = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) см. Это базовое свойство средней линии треугольника, которое позволяет упростить вычисления.

Плоскость сечения проходит через прямую \(DE\) и образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Это значит, что сечение наклонено относительно основания под углом \(30^\circ\). Поскольку плоскость пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(F\), высота сечения вдоль ребра \(CC_1\) связана с высотой призмы \(h\) и углом наклона. Высота сечения равна \(CF = h \sin 30^\circ = \frac{h}{2}\). При этом длина \(DE\) остаётся горизонтальной проекцией стороны сечения.

Площадь треугольника \(DEF\) вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} \times DE \times CF\). Подставляя значения, получаем \(S = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\) см\(^{2}\). Таким образом, площадь сечения равна \(18\) см\(^{2}\), что соответствует правильному результату.