ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Все грани выпуклого многогранника являются четырёхугольниками. Количество рёбер многогранника равно 12. Найдите количество вершин и количество граней.

Дано количество рёбер \( P = 12 \). По формуле Эйлера для многогранника \( B — P + Г = 2 \).

Так как все грани четырёхугольники, то \( 4Г = 2P \), откуда \( Г = \frac{2P}{4} = \frac{2 \times 12}{4} = 6 \).

Подставляем в формулу Эйлера: \( B — 12 + 6 = 2 \), значит \( B = 8 \).

Ответ: количество вершин \( 8 \), количество граней \( 6 \).

Количество рёбер многогранника дано и равно \( P = 12 \). Для выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера, которая связывает количество вершин \( B \), рёбер \( P \) и граней \( Г \): \( B — P + Г = 2 \). Эта формула является основным инструментом для нахождения неизвестных параметров многогранника при известных других.

Так как все грани четырёхугольники, каждая грань имеет 4 ребра. При этом каждое ребро принадлежит ровно двум граням, поэтому сумма рёбер по всем граням равна удвоенному количеству рёбер: \( 4Г = 2P \). Отсюда можно выразить количество граней как \( Г = \frac{2P}{4} = \frac{2 \times 12}{4} = 6 \). Это значит, что многогранник состоит из 6 четырёхугольных граней.

Подставим найденное значение \( Г = 6 \) в формулу Эйлера: \( B — 12 + 6 = 2 \). Упростим уравнение: \( B — 6 = 2 \), откуда следует \( B = 8 \). Таким образом, количество вершин многогранника равно 8, а количество граней — 6.