ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(D\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(BC\) и \(AA_1\) правильной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\). Точка \(X\) принадлежит прямой \(BK\). Найдите наименьшее значение площади треугольника \(AXD\), если \(AB = 6\) см и \(AA_1 = 8\) см.

Точки \(D\) и \(K\) — середины рёбер \(BC\) и \(AA_1\) правильной призмы с \(AB=6\), \(AA_1=8\).

Проектируем \(AD\) и \(BK\) на основание. Общий перпендикуляр к \(AD\) и \(BK\) — высота треугольника \(AXD\).

Длина общего перпендикуляра равна расстоянию между прямыми \(AD\) и \(BK\).

Площадь треугольника \(AXD\) равна половине произведения основания \(AD\) на высоту — длину общего перпендикуляра.

Рассчёт даёт площадь \(S = \frac{18 \sqrt{3}}{5}\) см\(^{2}\).

В правильной треугольной призме с основанием \(ABC\), где \(AB = 6\) см и высота \(AA_1 = 8\) см, точки \(D\) и \(K\) — середины рёбер \(BC\) и \(AA_1\) соответственно. Чтобы найти минимальную площадь треугольника \(AXD\), нужно рассмотреть положение точки \(X\) на прямой \(BK\). Точка \(X\) задаётся параметром \(t\), и координаты \(X\) выражаются через \(B\) и \(K\).

Для вычисления площади треугольника \(AXD\) используется формула \(S = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AX} \times \overrightarrow{AD} |\). Векторы \(\overrightarrow{AX}\) и \(\overrightarrow{AD}\) выражаются через координаты точек, и вычисляется их векторное произведение. Полученное выражение зависит от параметра \(t\), который выбирается так, чтобы площадь была минимальна. Минимум достигается при определённом значении \(t\), найденном из условия экстремума функции, описывающей площадь.

После подстановки значения \(t\) и вычислений получается, что минимальная площадь равна \(S_{\min} = \frac{18 \sqrt{3}}{5}\) см^{2}. Это значение соответствует наименьшей площади треугольника \(AXD\) при оптимальном выборе точки \(X\) на ребре \(BK\).